Istraživački rad "geometrijske iluzije". Iluzije s crno-bijelim negativima

Nacrtano na sl. 1 grupa igala na prvi pogled ne predstavlja ništa posebno. Ali podignite knjigu do razine očiju i, zatvorivši jedno oko, pogledajte ove retke tako da linija pogleda klizi duž njih. (Oko mora biti postavljeno na mjestu gdje se sijeku nastavci ovih linija.) Gledajući na ovaj način, činit će vam se da pribadače nisu nacrtane na papiru, već uspravno zabodene u njega. Okrećući glavu malo u stranu, vidjet ćete da se igle naginju u istom smjeru.


Riža. jedan.
Postavite jedno oko (drugo zatvoreno) otprilike na točku gdje se sijeku nastavci ovih linija.
Vidjet ćete niz pribadača, kao da su zabodene u papir.
Kada se uzorak lagano pomiče s jedne strane na drugu, čini se da se igle klimaju.

Ova se iluzija objašnjava zakonima perspektive: linije su nacrtane na način na koji bi okomito stršeće pribadače trebale biti projicirane na papir kada se gledaju na gore opisani način.

Našu sposobnost da podlegnemo vizualnim prijevarama ne treba smatrati samo nedostatkom vizije. Ima i svoju vrlo korisnu stranu, koja se često zaboravlja. Činjenica je da kad naše oči ne bi podlegle nikakvim prijevarama, ne bi bilo slikanja i bili bismo lišeni svih užitaka. likovne umjetnosti. Umjetnici obilato koriste te nedostatke vizije. “Na ovoj obmani temelji se sva likovna umjetnost”, napisao je briljant znanstvenik XVIII stoljeća Euler u svojim poznatim Pismima o raznim fizičkim stvarima. - Kad bismo navikli stvari suditi po samoj istini, onda ovoj umjetnosti (tj. umjetnosti) ne bi moglo biti mjesta, kao da smo slijepi. Uzalud bi umjetnik svu svoju umjetnost iscrpio u miješanju boja; rekli bismo: evo crvene mrlje na ovoj ploči; ovdje je plavo, ovdje crno i tamo neke bjelkaste linije; sve je na istoj površini, na njoj se ne vidi nikakva razlika u udaljenosti i ne bi bilo moguće prikazati niti jedan predmet. Što god da je napisano na slici, činilo bi nam se kao slovo na papiru ... Ne bismo li s tim savršenstvom bili dostojni sažaljenja, lišeni zadovoljstva koje nam svakodnevno donosi tako ugodna i korisna umjetnost?

Ima puno optičkih iluzija, možete napuniti cijeli album razni primjeri takve iluzije. Mnogi od njih su dobro poznati, drugi su manje poznati. Evo još nekoliko zanimljivih primjera. optičke iluzije od onih manje poznatih. Iluzije na Sl. 2 i 3 s linijama na rešetkastoj pozadini: oko definitivno odbija povjerovati da su slova na sl. 2 su postavljena ravno. Još je teže vjerovati da je na Sl. 43 pred nama nije spirala. U to se morate uvjeriti izravnim testom: stavite vrh olovke na jednu od grana zamišljene spirale, kružite u lukovima, ne približavajući se i ne odmičući se od središta.


Riža. 2. Slova su postavljena ravno.


Riža. 3. Zakrivljene linije ove figure izgledaju kao spirala; u međuvremenu, to su krugovi, što je lako provjeriti pomicanjem šibice po njima.

Na isti način, samo uz pomoć šestara, možemo provjeriti da je na si. 4 pravac AC nije kraći od AB.


Riža. 4. Udaljenosti AB i AC su jednake, iako se prva čini dužom.

Bit ostalih iluzija koje stvaraju slike 5, 6, 7, 8 objašnjena je u naslovima ispod njih. U kojoj je mjeri iluzija Sl. 7, prikazuje sljedeći zanimljiv slučaj: izdavač jednog od prethodnih izdanja moje knjige, dobivši otisak ovog klišeja iz cinkografije, smatrao je klišej nedovršenim i već se spremao vratiti ga u studio kako bi se očistio sive mrlje na sjecištu bijelih pruga, kad sam slučajno ušao u sobu objasnio mu u čemu je stvar.

Državni proračun opće obrazovanje

srednja ustanova sveobuhvatna škola № 000

Moskovski okrug Sankt Peterburga

Istraživački rad u matematici

Geometrijske iluzije "Ne vjeruj svojim očima ..."

Nominacija: informacijsko - matematička

Završeno:

Kopač Anna

Momzina Valeria

GBOU srednja škola br. 000

Moskovska regija

Nadglednik:

Gaidukova I. N

profesorica matematike,

informatika

St. Petersburg

I. Uvod 3

II. Glavni dio

2.1. Iluzije vizualne percepcije. 5

2.2. Optički geometrijske iluzije. 6

2.3. Izgubljena perspektiva 7

2.4. Fenomen iradijacije. 9

2.5. Iluzije obrade informacija. deset

2.6. Ponovna procjena okomitih linija. 13

2.7. Upotreba vizualnih iluzija u ljudskom životu 14

III. Istraživački dio 20

IV. Zaključak. 31

V. Popis korištene literature. 32

Primjena

Uvod.

U nastavi geometrije često se susrećemo s takvim problemom: razmatranje svojstava geometrijski oblici, neki se učenici ponekad oslanjaju samo na crtež, na svoju vizualnu percepciju. Ali takav pristup rješavanju problema često dovodi do pogrešnih zaključaka, a time i do netočnog rješenja. Navikli smo vjerovati vlastitoj viziji, ali ona nas često vara, pokazujući nešto što zapravo ne postoji. U takvim trenucima suočeni smo s vizualnim iluzijama – pogreškama vizualne percepcije. Znanstvenici i umjetnici stvorili su mnoge varljive slike koje jasno pokazuju koliko su ograničene mogućnosti ljudskog oka.

Ljudski vid je složen i, po svojoj prirodi, ponekad daje pogrešan dojam o tome što osoba zapravo vidi. Koliko nas često intuitivna razmatranja iznevjere, vidjet ćemo danas pri razmatranju nekih optičko-geometrijskih iluzija.

Pogledajmo nekoliko primjera. Prvi prikazuje iluziju volumena na ravnom kolniku.

Na drugom je prikazana slika u kojoj se objekti koji su nam bliži čine manjima od onih koji su udaljeniji od nas, a zapravo su potpuno isti.

Na trećoj slici lako se može učiniti da je prikazana spirala, ali to je opet samo privid - prikazani su krugovi! ( vidi prilog 1)

Zašto se ovo događa? Zašto se isti predmet, gledan golim okom, izbliza čini većim nego kad ga gledamo izdaleka? Zašto, da bismo vidjeli detalje slike koja visi na zidu, prilazimo joj bliže? Zašto se čini da paralelne tračnice "bježe" u daljinu kao da se sijeku u zamišljenoj točki? Odgovore na ova i druga "zašto" pokušali smo pronaći u našem radu. Zato predmet našeg proučavanja su vizualne iluzije, subjekt– proučavanje uzroka iluzija.

Cilj:

Ø okogeometrijski objasniti uzroke vidnih iluzija

Hipoteza. Vizualne iluzije mogu se objasniti pomoću zakona geometrije.

Ciljevi istraživanja:

Ø istraživati teorijsko gradivo o ovom pitanju;

Ø razmotriti primjere korištenja geometrijskih iluzija.

Ø Provesti istraživanje vezano za geometrijske i vizualne iluzije, objasniti ih i dokazati u terminima geometrije.

II. Glavni dio

Gledajući svijet, čovjek se ne može ne iznenaditi.

K. Prutkov.

2.1. Iluzije vizualne percepcije

Riječ "iluzija" dolazi od latinskog illusere - prevariti. Optičko-geometrijske iluzije su vizualne iluzije, zbog kojih su prostorni odnosi značajki percipiranih objekata iskrivljeni.

Okruženje oko sebe doživljavamo kao datost: sunčeva zraka koja se poigrava odsjajem na površini vode, igra boja jesenja šuma, osmijeh djeteta... U to ne sumnjamo stvarni svijet točno onako kako ga mi vidimo. No, je li stvarno tako? Zašto nas oči ponekad iznevjere? Kako ljudski mozak tumači opažene objekte? Odgovore na ova i mnoga druga pitanja pokušat ćemo otkriti u našem radu.

Je li iluzorno vidljivi svijet? Osoba percipira većinu informacija o svijetu oko sebe putem vizije, ali malo ljudi razmišlja o tome kako se to točno događa. Najčešće se oko smatra poput fotoaparata ili televizijske kamere, koja projicira vanjske objekte na mrežnicu, koja je površina osjetljiva na svjetlost. Mozak "gleda" u tu sliku i "vidi" sve što nas okružuje. Međutim, nije sve tako jednostavno.

Prvo, slika na mrežnici je naopako okrenuta.

Drugo, zbog nesavršenih optičkih svojstava oka, slika na mrežnici je defokusirana ili razmazana.

Treće, oko čini stalne pokrete, odnosno slika je u stalnoj dinamici.

Četvrto, oko trepće otprilike 15 puta u minuti, što znači da se slika prestaje projicirati na mrežnicu svakih 5-6 sekundi.

Dakle, što mozak "vidi"?

Budući da osoba ima binokularni vid, zapravo vidi dvije mutne slike koje se trzaju i povremeno nestaju, što znači da postoji problem spajanja informacija koje dolaze kroz desno i lijevo oko.

Treba uočiti još jedan paradoks naše vizije. Zamislite inženjera koji je dobio zadatak stvoriti uređaj koji prikazuje svjetlosne informacije o vanjskom svijetu. Kako bi rasporedio fotoosjetljive elemente? Najvjerojatnije bi bile usmjerene prema upadnom svjetlu. Inženjer po imenu "Priroda" usmjerio je naše elemente osjetljive na svjetlost - štapiće i čunjiće mrežnice - ne "licem", već "natraga" prema upadnom svjetlu. Za što? Postoji dosta takvih pitanja kada se analiziraju studije vizualne percepcije. Postoje mnogi znanstveni pravci, koji, koristeći razne eksperimentalne metode pokušavajući shvatiti kako percipiramo svijet oko sebe. Jedan od najzanimljivijih načina učenja je proučavanje vizualnih iluzija.

2.2. Optičko-geometrijske iluzije.

Mnogi su istraživači proučavali uzroke iluzija. Glavno pitanje , što zanima ne samo psihologe, već i umjetnike, - jer se na temelju dvodimenzionalne slike na mrežnici rekreira trodimenzionalni vidljivi svijet.

Možda vizualni sustav koristi određene znakove dubine i udaljenosti, na primjer, načelo perspektive, koje pretpostavlja da se sve paralelne linije spajaju na horizontu, a veličina objekta smanjuje se proporcionalno kako se udaljava od promatrača.

Iluzije distorzije percepcije veličine.

Jedna od najpoznatijih optičko-geometrijskih iluzija - Muller-Lyerova iluzija.

Muller-Lyerova iluzija u svakodnevnom životu

Okružuju nas mnogi pravokutni objekti: sobe, prozori, kuće, čiji se tipični obrisi mogu vidjeti na slici. Stoga se slika u kojoj se linije razilaze može percipirati kao kut zgrade koji se nalazi dalje od promatrača, dok se uzorak u kojem se linije spajaju percipira kao kut zgrade koji se nalazi bliže.

2.3. Kršenje perspektive

Često vidimo paralelne linije koje se spajaju u daljini (platno željeznička pruga, autoput itd.). Taj se fenomen naziva perspektiva. Da bi se crtežom prikazao određeni dio prostora ispunjen predmetima, tako da crtež daje dojam realnosti, potrebno je znati koristiti se zakonima perspektive. Sve linije na ovom crtežu, koje su zapravo paralelne s površinom, trebale bi biti prikazane kako se skupljaju u nekoj točki na horizontu, koja se naziva "točka nestajanja". Linije koje idu pod različitim kutovima trebale bi se skupljati s jedne ili druge strane "točke nestajanja", što je dalje od nje, to je veći kut u odnosu na liniju izravne vizije koju prolaze. Od ovih točaka najznačajnija je točka gdje se linije spajaju pod kutom od 45 stupnjeva prema liniji izravnog gledanja; ta se točka naziva "točka udaljenosti". Izvanredan je po tome što ako stavite oko ispred njega na daljinu jednaka udaljenosti od “točke nestajanja” do “točke udaljenosti”, tada crtež daje dojam volumena. Razvijena perspektivna percepcija prostora stoljeća evolucije vizija, osoba prenosi i na slike i fotografije koje razmatra, a koje prikazuju jednako udaljene objekte. Na slici hodnik djeluje voluminozno upravo zbog perspektive: hodnik na njemu ide duboko, a pod se sastoji od pravokutnika.

perspektivna iluzija. Predložene su mnoge teorije za objašnjenje ovih distorzija. Jedna od najzanimljivijih hipoteza sugerira da osoba tumači obje slike kao ravne slike u perspektivi. Konvergencija kosih zraka u jednoj točki stvara znakove perspektive, a osobi se čini da se segmenti nalaze na različitim dubinama u odnosu na promatrača.

S obzirom na ove znakove, kao i istu projekciju segmenata na mrežnici, vidni sustav je prisiljen zaključiti da su različite veličine. Oni fragmenti slike koji se čine udaljenijima percipiraju se kao veliki.

Primjer kako se može uništiti cjelovita slika predmeta su takozvane "nemoguće", kontradiktorne figure, slike. sa slomljenom perspektivom.

"Nemoguće Penroseove stepenice. Pogledajte sliku i odgovorite na pitanje: kreće li se osoba gore?

Svaka pojedinačna stepenica nam govori da se osoba uspinje, međutim, nakon što prođe četiri etaže, nađe se na istom mjestu s kojeg je i započela svoj put. "Nemoguće" stubište ne percipira se kao cjelina, budući da nema dosljednosti između njegovih pojedinačnih fragmenata. S vremena na vrijeme slijedimo stepenice koje vode gore, pokušavajući pronaći način da riješimo ovaj problem, ali ga ne nalazimo.

https://pandia.ru/text/78/016/images/image006_116.gif" align="left" width="367" height="140 src=">Sljedeća slika služi kao primjer ovoga: kocka Čini se da je vidljiva odozgo, ponekad sa strane, otvorena knjiga sada izgleda prikazana s hrptom prema nama, ponekad s hrptom od nas. To se događa i po našoj volji, i nehotice, a ponekad čak i suprotno našoj želji.

2.4 Fenomen iradijacije

Koji je od unutarnjih kvadrata veći? Crno ili bijelo?

Fenomen iradijacije sastoji se u činjenici da se svijetli objekti na tamnoj pozadini čine većima od svoje stvarne veličine i, takoreći, hvataju dio tamne pozadine. Kada promatramo svijetlu plohu na tamnoj pozadini, zbog nesavršenosti leće, čini se da se granice te plohe pomiču, te nam se ta ploha čini većom od svojih pravih geometrijskih dimenzija. Na slici zbog svjetline boja Bijeli kvadratčini se mnogo većim od crnog kvadrata na bijeloj pozadini.

Zanimljivo je primijetiti da su, znajući za to svojstvo crne boje da prikriva dimenzije, duelaši u 19. stoljeću radije pucali u crnim odijelima u nadi da će neprijatelj prilikom pucanja promašiti.

Sljedeći primjer: pogledajte sliku iz daljine i odgovorite koliko crnih krugova može stati u slobodni prostor između donjeg kruga i jednog od gornjih krugova - četiri ili pet? Najvjerojatnije ćete odgovoriti da će četiri kruga slobodno stati, ali za peti možda neće ostati mjesta.

Zapravo, točno tri kruga stanu u prazninu. Međutim, ako uzmete papir, šestar ili ravnalo, možete biti sigurni da je tako.

Ova čudna iluzija, zahvaljujući kojoj se crna područja našem oku čine manjim od bijelih područja ove veličine, naziva se "zračenje". Ovisi o nesavršenosti našeg oka, koje kao optički aparat ne udovoljava u potpunosti strogim zahtjevima optike. Njegov refrakcijski medij ne daje na mrežnici one oštre konture koje se dobivaju na mutnom staklu dobro uvježbanog fotografskog aparata: zbog tzv. na mrežnici oka. Zbog toga nam se svijetla područja uvijek čine većima od njima jednakih crnih.

2.5 Iluzija obrade informacija

Neke se iluzije javljaju u vezi s obradom dolaznih informacija. Čovjek ponekad ne vidi svijet onakvim kakav stvarno jest, već onakvim kakvim bi ga želio vidjeti, prepuštajući se formiranim navikama, skrivenim snovima ili strastvenim željama. On traži željeni oblik, boju ili drugu prepoznatljivu kvalitetu predmeta među onima koji su predstavljeni vanjskom svijetu. Ovo svojstvo selektivnosti naziva se fenomen perceptivne spremnosti.

Pogledaj sliku. Je li simbol u sredini slovo ili broj? Ako uzmemo u obzir vodoravni vizualni red koji se sastoji od slova, središte će biti "B" - promatrač je za to pripremljen redom slova. Ako pogledate okomiti red, ispada da to uopće nije slovo, već broj 13 - brojevi su potaknuli ovu odluku.

Takve su iluzije posljedica više visoka razina obrada informacija, kada priroda problema koji se rješava određuje što osoba percipira u svijetu oko sebe. Zanimljive su značajke selektivnosti percepcije. Ako kažete osobi: u ovoj knjizi postoji vaše prezime, tada će moći vrlo brzo listati stranicama i pronaći spomen sebe. Štoviše, nema govora ni o kakvom čitanju teksta.

Takve vještine posjeduju lektori koji na nerazumljiv način izoliraju pogreške u tekstu koje su prosječnom čitatelju nevidljive. NA ovaj slučaj pričamo o profesionalnim vještinama stečenim u procesu djelovanja.

Vrlo mnogo pogrešnih vizualnih dojmova nastaje zbog činjenice da figure i njihove dijelove ne opažamo zasebno, već uvijek u nekom odnosu s drugim figurama koje ih okružuju, nekom pozadinom ili okruženjem. Najviše vezano uz ovo veliki broj vizualne iluzije koje se susreću u praksi. Svi se oni mogu podijeliti u pet skupina.

Prvo, uspoređujući dva lika, od kojih je jedan realno manji od drugog, pogrešno doživljavamo sve dijelove manjeg lika kao manje, a sve dijelove velikog lika kao velike ("cjelina je veća - više i njezini dijelovi"). Ovo je zbog psihološki aspekt percepcija.

Na druga dva crteža desne figure su veće od lijevih slika (figura u cjelini), ali su slovni dijelovi ovih figura jednaki slovnim dijelovima lijevih figura, iako se doimaju mnogo većim. To se događa jer pogrešno prenosimo svojstva figure na njezine dijelove.

https://pandia.ru/text/78/016/images/image011_75.gif" width="564" height="128 src=">

Treće, poznate su iluzije, čiji uzrok leži u asimilaciji (ujednačavanju) jednog dijela figure s drugim. Na slici se čini da je ravna crta, tangenta na sve kružnice različitih radijusa, krivulja, jer je nesvjesno uspoređujemo s gornjom krivuljnom granicom. (Iluzija S. Thompsona).

https://pandia.ru/text/78/016/images/image013_37.jpg" alt="(!LANG:parall3.gif" align="left" width="280" height="131 src=">Аксиома" href="/text/category/aksioma/" rel="bookmark">аксиомами , теоремами, доказывать! Большая часть обманов зрения зависит исключительно от того, что мы не только видим, но и бессознательно рассуждаем, причём невольно вводим себя в заблуждение. Это – обманы суждения, а не чувств.!}

2.7. Upotreba vizualnih iluzija u ljudskom životu

Ø optičke iluzije na cesti.

https://pandia.ru/text/78/016/images/image016_30.jpg" align="lijevo" width="136" height="160 src=">

Žena s desne strane djeluje vitkije.

Ponekad se događa da prostor kostima ispunjen dekorom i detaljima izgleda veći od praznog prostora koji mu je jednak.

https://pandia.ru/text/78/016/images/image018_53.gif" align="lijevo" širina="311" visina="208"> Načini optičke promjene prostora sobe.

Okomite pruge: izdužuju zid, čineći prostoriju višom. Što su trake šire, to je učinak jači.

Poprečne pruge odvajaju zidove, a soba je niža.

nepostojeći". Vizualno nedosljedna konfiguracija stvara nerješiv sukob između stvarnog i vidljivog oblika.

Ako u prirodi vidimo ljepotu i tamo gdje vlada kaos i nema ritma, onda op art, poput čovjeka koji želi transformirati prirodu, traži ljepotu i izražajnost u jasnom, ali teškom za našu percepciju. geometrijski uzorak, unoseći kaos u naš osjećaj za formu i prostor i tako postižu određeni učinak. Naša percepcija teži organiziranju vidljiv oku slika nasumično razbacanih obojenih mrlja u jednostavnom sustavu, op art, naprotiv, korištenjem strogih geometrijske konstrukcije, uništava cjelovitost percepcije (vidi prilog 4).

Ø 3D crteži na asfaltu. Ulična umjetnost na asfaltu.

Zamislite: šetate gradom i iznenada vam se pred očima pojavi pukotina iz koje demoni pokušavaju pobjeći! Ili iznenada primijetite sasvim običnu jabuku na pločniku, ali je ne možete dotaknuti - naslikana je! Kada prvi put pogledate trodimenzionalne slike na kolniku, ne možete vjerovati da je to zapravo samo crtež. Ova vrsta ulična umjetnost pod nazivom Street Painting (na engleskom), ili Madonnari (na talijanskom). Zapravo, Moderna umjetnost Ulično slikarstvo (ili Madonnari) nastalo je u 16. stoljeću kada je ulični umjetnici o vjerskim praznicima u blizini crkava i hramova prikazivane su slike biblijskih prizora. Među slikama je najčešće dominirala slika s Majkom Božjom (Madonom).

Kako bi stvorili trodimenzionalnu sliku na asfaltu, umjetnici koriste posebnu distorziju, dok slika izgleda trodimenzionalno gledano s određene točke. Za jednu sliku potrebno je oko tri dana.

Umjetnost aktivno koristi sposobnost vizije samoobmane za svoje potrebe. Tehnike za perspektivu ili reprodukciju efekta volumena u ravnom crtežu već su imenovane. U modernim terminima, ovaj efekt se može nazvati "efektom virtualnog volumena". Ispada da je naš vid sposoban opažati trodimenzionalne slike i percipirati ih kao stvarne, a zapravo je to samo iluzija. (vidi prilog 5).

Slika - iluzija "Pjenušavog vodopada" na pločniku pomaže mentalnom prijenosu iz topline koja zrači tamo gdje ima vode i hladnoće. Glavna tajna slike volumetrijskih slika, potrebno ih je "rastegnuti". To je vještina izvođača. Ako se primijeni na normalne proporcije, onda se takav učinak ne može postići. A za izradu je potrebno nekoliko sati.

III. Istraživački dio

Istraživački rad za prepoznavanje i objašnjenje iluzija i njihovih dokaza.

S desne strane, mnogi od vas imaju pitanje: zašto gubiti vrijeme na dokazivanje nečega što je već jasno?

I zapravo, zašto dokazivati ​​da su kutovi na osnovici jednakokračnog trokuta međusobno jednaki? Ili da zbroj parnih brojeva mora biti paran?

Uostalom, iz crteža se vidi jednakost kutova i koliko god puta zbrajali parne brojeve, uvijek dobijete paran zbroj... Možda je istina da dokaz treba samo profesorima matematike?

No, tijekom mnogih stoljeća razvoja znanosti i umjetnosti nakupili su se brojni primjeri koji pokazuju da ne treba uvijek vjerovati onome što se vidi, pogotovo ne prvom dojmu. Ono što se čini istim može se pokazati drugačijim, a ono što se u početku činilo drugačijim, postat će isto.

1. Usporedite veličine.

1.1 Razmotrite Baldwinovu iluziju iskrivljenja percepcije veličine

I u navedenim primjerima segmenti su međusobno jednaki.

1.2 Zamolili smo učenike škole da nacrtaju okomite i vodoravne crte iste duljine, au većini slučajeva nacrtane okomite crte bile su kraće od vodoravnih.

Okomite paralelne linije, sa svojom značajnom duljinom, obično izgledaju malo divergentne u gornjem dijelu, dok vodoravne konvergiraju.

2. Predstavljanje veličina figura (ponovna procjena okomitih linija)

https://pandia.ru/text/78/016/images/image024_46.gif" alt="(!LANG:D:\Svetlana\Iluzija\Novo" align="left" width="212" height="137 src=">!} 2.2 Cafe iluzija

Pravci na ovoj slici također su paralelni.

2.3. Iluzija Wertheimer-Koffka. https://pandia.ru/text/78/016/images/image026_14.jpg" alt="(!LANG:circlet.gif (826 bajtova)" align="left hspace=12" width="272" height="163">!} 2.4 Ebbinghausova iluzija (1902.).

Koji krug je veći? Onaj koji je okružen malim krugovima
ili onaj koji je okružen velikim?

https://pandia.ru/text/78/016/images/image028_11.jpg" alt="(!LANG:Opis:" align="left" width="164" height="163">!} 2.6 Zamislite lik sastavljen od rombova i trokuta. Je li istina da je širina manja od visine?

Zaključak: Međutim, oni su isti, a spojimo li vrhove oštrih kutova, dobit ćemo kvadrat.

2.7 Usporedimo relativne veličine nekoliko objekata u vidnom polju.

Ako su predmeti jednako udaljeni od očiju i dovoljno blizu jedan drugome, lako ih je usporediti. U tom slučaju rijetko griješimo u procjeni: viši objekt se vidi pod većim kutom, pa se stoga čini višim.

Zakomplicirajmo zadatak. Stavljat ćemo predmete na različite udaljenosti od oka, uključujući predmete različitih veličina. Tada se čini da su njihove vidljive veličine iste.

https://pandia.ru/text/78/016/images/image031_10.jpg" width="293" height="144">.jpg" align="lijevo" width="276 height=141" height=" 141">

3. Iluzija perspektive

Ovo je način prikazivanja objekata u prostoru, u skladu sa karakteristikama ljudskog vida.

3.1 Iluzija Ponzo- također ilustrira iskrivljenja u percepciji veličine. Koja je plava ili crvena linija duža?

Godine 1913. Mario Ponzo pokazao je da naš mozak ponekad određuje veličinu predmeta na temelju pozadine iza njega.

Crte nacrtane na sljedećim fotografijama iste su duljine, paralelne i jednako udaljene jedna od druge.

Međutim, linije koje su nam najbliže izgledaju kraće od onih udaljenih.

3.2 Zamislite dvije paralelne linije (tramvaj ili željeznica) koje bježe od nas. Čini se da se spajaju u nekoj točki na horizontu. Pritom nam se sama točka čini beskrajno dalekom i nedostupnom. Vizija kao da nas pokušava uvjeriti da se, suprotno zakonima geometrije, paralelne linije sijeku.

Dokaz: ova se iluzija objašnjava značajkom vizualne percepcije o kojoj smo gore raspravljali. Objekt (prag), koji se nalazi na različitim udaljenostima od promatrača, vidljiv je iz različitih kutova gledanja, a kako se udaljava duž paralelnih linija (tračnica), njegova se kutna veličina smanjuje, što dovodi do vidljivog smanjenja udaljenosti između linije (u ovom slučaju, to je određeno veličinom spavača). Očito, kada kut gledanja dosegne određenu "kritičnu" vrijednost, oko prestaje razlikovati objekt koji se udaljava kao tijelo s dimenzijama, a linije se za njega "stapaju" u jednu točku.

Zaključak: postoji granična vrijednost vidnog kuta - najmanja vrijednost pri kojoj oko može vidjeti dvije točke odvojeno .

3.3 Pogledajte aute. Koji je veći?

https://pandia.ru/text/78/016/images/image040_26.gif" align="lijevo hspace=12" width="217" height="227">

Najzanimljivije je to što su i paralelopipedi i ova tri automobila isti!!!

Zbog znakova perspektive desna kutija izgleda udaljenija od ostalih. Budući da znak udaljenosti "pokreće mehanizam" stalne percepcije vrijednosti, promatraču se čini da je pravi paralelopiped veći od ostalih, iako su identični.

Zaključak: ako se dva predmeta čije su slike na mrežnici jednake veličine pojavljuju promatraču na različitim udaljenostima od njega, onaj koji se čini udaljenijim uvijek će se činiti većim. Taj se odnos naziva hipotezom prividne udaljenosti.

4. Varljivi volumeni.

ravne slike prostorna tijela, naravno, uvijek sadrže neku konvenciju: to su samo neke ravne figure koje nam pomažu zamisliti položaj tijela u prostoru.

U ovom slučaju ponekad se ispostavi da različita tijela mogu imati istu ravnu sliku. I onda se nikako ne možemo odlučiti: što vidimo pred sobom?

4.1 Najjednostavnija slika sastoji se od romba s ucrtanom kratkom dijagonalom. Ako osjenčamo jednu njegovu polovicu, možemo vidjeti ili sliku piramide ili sliku pravokutne rupe u podu.

4.2. Promatrajući sliku odozgo prema dolje, vidimo kocku u kojoj se dvije susjedne plohe nastavljaju prema dolje, a ako se oko pomakne odozdo prema gore, možemo vidjeti istu kocku, u kojoj se dvije plohe nastavljaju prema gore.

4.3 Razmotrimo kocku. Čini nam se da je plavo lice kocke

ispred ili iza? A ovako treba izgledati.

Ponekad se čini da ispred, a ponekad - iza.

https://pandia.ru/text/78/016/images/image045_8.jpg" alt="(!LANG:Opis:" align="left" width="171" height="171 src=">На левом мы можем видеть большой куб, из которого в углу вырезан маленький кубик, помещенный в углу то ли комнаты, то ли коробки. А теперь сосчитайте кубики на правом рисунке. Иногда у вас получиться 7 (с черными гранями, обращенными к нам), а иногда – 6 (с черными гранями сверху).!}

5. "Nemogući predmeti"

Sigurno ste već naišli na ove riječi. I što one znače? Sama riječ objekt označava neku vrstu predmeta koji se može razmatrati, dodirivati, proučavati. Kako ne postoji?

Crtež" href="/text/category/cherchenie/" rel="bookmark">Crtež nije ispravno povezan s ispravnim elementima .

Sve tri donje figure sastoje se od vrlo jednostavnih, dobro postojećih dijelova. Ali ti dijelovi su međusobno povezani na neki vjerojatan, ali potpuno nemoguć način.

https://pandia.ru/text/78/016/images/image050_2.jpg" alt="(!LANG:Opis:" align="left" width="200" height="102 src=">С этой фигурой мы входим с самую сердцевину и суть «невозможного». Может быть, это самый многочисленный класс невозможных объектов.!}

Ovaj notorni nemogući objekt s tri (ili dva?) zupca postao je popularan među inženjerima i entuzijastima zagonetki 1964. godine. Prva publikacija posvećena neobičnoj figuri pojavila se u prosincu 1964. godine. Autor ga je nazvao "Zagrada koja se sastoji od tri elementa." Opažanje i rješavanje (ako je moguće) nepodudarnosti u ovoj novoj vrsti dvosmislene figure zahtijeva stvarni pomak u vizualnoj fiksaciji. S praktičnog gledišta, ovaj čudni trozubac ili mehanizam u obliku nosača apsolutno je neprimjenjiv. Neki to jednostavno nazivaju "nesretnom pogreškom". Jedan od predstavnika zrakoplovne industrije predložio je korištenje njegovih svojstava u dizajnu međudimenzionalne svemirske vilice za ugađanje.

6. Vjerujte, ali provjerite!

Svi navedeni primjeri uvjerili su vas da prvi dojam o slici može varati. I stoga nemojte žuriti reći: "Pa, ovo je jasno vidljivo na slici!", Sasvim je moguće da jedan vidi jedno, a drugi nešto sasvim drugo.

A događa se da se ono što je nacrtano uopće ne dogodi!

Dakle, prije izvlačenja zaključaka iz slike, korisno je razmisliti o njoj.

https://pandia.ru/text/78/016/images/image052_25.gif" alt="(!LANG:Opis:" align="left hspace=12 alt="širina="290" height="147">Отношения длин соответствующих сторон синего и красного треугольников не равны друг другу (2/3 и 5/8), поэтому эти треугольники не являются подобными, а значит, имеют разные углы при соответствующих вершинах. Назовём первую фигуру, являющуюся вогнутым четырёхугольником, и вторую фигуру, являющуюся вогнутым восьмиугольником, псевдотреугольниками. Если нижние стороны этих псевдотреугольников параллельны, то гипотенузы в обоих псевдотреугольниках 13×5 на самом деле являются ломаными линиями (на верхнем рисунке создаётся излом внутрь, а на нижнем - наружу). Если наложить верхнюю и нижнюю фигуры 13×5 друг на друга, то между их «гипотенузами» образуется параллелограмм, в котором и содержится «лишняя» площадь. На рисунке этот параллелограмм приведён в верных пропорциях. «Гипотенуза» на самом деле является ломаной линией.!}

Zaključak.

Materijal predstavljen u radu proširuje horizonte učenika, nadopunjuje teorijsko znanje i objašnjava mnoge optičke iluzije. Geometrijske iluzije stvaraju bogate mogućnosti za umjetnike, fotografe, modne dizajnere. Međutim, inženjeri i matematičari moraju biti oprezni s crtežima i potkrijepiti "očito" točnim izračunima.

Pokazali smo da naše procjene realnih geometrijskih veličina jako ovise o prirodi i pozadini slike. Pogreške koje proizlaze iz optičkih iluzija mogu biti vrlo velike.

Tako je naše istraživanje pokazalo koliko je ljudska djelatnost široka i višestruka, koliko su različiti zahtjevi za oblikom i sadržajem slika. Neki od njih trebali bi ostaviti isti dojam na ljudsko oko kao i sam prikazani objekt, drugim riječima, slika bi trebala imati dovoljnu vidljivost. U drugom slučaju, slika bi trebala biti, prije svega, geometrijski ekvivalentna originalu, trebala bi dati potpuni geometrijski i dimenzionalni opis prikazanog predmeta.

U procesu rada na temi "Ne vjeruj svojim očima ..." - geometrijske iluzije, mi:

Ø proučavao teoretski materijal o ovom pitanju;

Ø pregledati primjere korištenja geometrijskih iluzija.

Ø Provodio istraživanja vezana uz optičko-geometrijske i vizualne iluzije, objašnjavao ih i dokazivao u smislu geometrije.

I došli su do zaključka: u matematici se pri rješavanju zadataka ne možete oslanjati samo na crtež, sve svoje tvrdnje morate potvrditi svojstvima, aksiomima, teoremima.

Time je potvrđena hipoteza našeg istraživanja.

Bibliografija

1. S. Tolansky, "Optičke iluzije". - M.: Mir, 1967. - S. 128.

2. O. Ruthersward , "Nemoguće figure". - M.: Strojizdat, 1990.

3. P. Demin, "Fizički eksperimenti i psihološke iluzije." - M., 2006.

4. H. Schiffman, Osjećaj i percepcija. - Sankt Peterburg, 2003.

5., "Iluzije vida", izd. 3 - M., Nauka, 1969.

6., "Zabavna fizika." - M., AST, 2010

7. O. Rutersvärd, Nemoguće figure. - M., Stroyizdat, 1990.

osam., " nacrtna geometrija“, M.1963

9., "Perspektiva u geometriji i slikarstvu", M 1998

10., "Matematika uživo", M. 2006

11. R. L Gregory, "Razumne oči", M. 2003

12., "Geometrija i Marseljeza", M. 1986

13. Velika elektronička enciklopedija Ćirila i Metoda Kagirova

14. N. M. Karpunina, "Neočekivana matematika", M. 2003.

15. E. Rubin, "Predmeti i slike", enciklopedija za djecu 2000.

16.P Francesca, "O slikovnoj perspektivi", Enciklopedija 2000.

17. Dječja matematička enciklopedija "Ja poznajem svijet"

18. I. Ya Depman, Iza stranica udžbenika matematike. M-1988

19. Ne vjerujte svojim očima//Kvant-1970.-№10-S. 18-20 (prikaz, ostalo).

Internet resursi.

http://www. iluzija. /main/index/index. php - Vizualne iluzije i pojave

http://www. *****/2004/6/očito. shtml - Iluzije vizualne percepcije. Očito je nevjerojatno. Časopis "U svijetu znanosti", lipanj 2004. br. 6

http://www. *****/knjiga/gregory. htm - "Inteligentno oko"

  • Iluzije kretanja
  • Percepcija veličine

    • Mnoge se iluzije objašnjavaju građom ljudskog oka i njegovim hendikepiran. Toliko se prometnih nesreća događa u sumrak na raskrižjima gdje vise semafori, kada se podešava rad vizualnog aparata ili noću, kada vozači zamijene svjetlo semafora za svjetlo obične svjetiljke.

    Pravilnim odabirom uzorka na tapetama možemo vizualno proširiti malu sobu. Odabirom prave boje tkanine možete sakriti nedostatke svoje figure. Iako vizualna iluzija nije uvijek igra svjetla i sjene ili prirodna percepcija danog objekta.

    Postoje mnoge posebno dizajnirane optičke slagalice koje stvaraju nevjerojatne efekte!

    vizualna distorzija

    Iluzije često dovode do potpuno netočnih kvantitativnih procjena stvarnih geometrijskih veličina. Prema teoriji relativne veličine, percipirana veličina ne ovisi samo o veličini na mrežnici, već io veličinama drugih objekata u vidnom polju koje promatramo istovremeno.

    Heringova iluzija (fantastična iluzija)

    Pravci su zapravo paralelni.

    Wundtova iluzija (1896.)

    Crte u središtu zapravo su paralelne.

    Cafe "Wall" iluzija

    Jesu li vodoravne crte paralelne?

    Crvene linije su ravne, iako izgledaju zakrivljene.

    Perelmanova iluzija

    Slova su zapravo međusobno paralelna

    Iluzija W. Ehrensteina (W. Ehrenstein, 1921.)

    Čini se da su plavi kvadrati neravnomjerno nacrtani

    Krivi li se uzorak prema unutra?

    Svi kvadrati nisu stvarno iskrivljeni.

    Iluzija J. Frasera (Fraser, 1908.)

    Krugovi ili spirale?

    Pogledajte u sredini crnu točku - obojene mrlje bi trebale nestati:

    Gledajte bez podizanja pogleda na križ. Jeste li vidjeli zelene mrlje? Ali ovdje nema ničeg zelenog.

    Optička iluzija!

    Iluzije s crno-bijelim negativima

    Lubanja

    Ova stara iluzija je mnogima poznata. Pogledajte crni križ u očnoj duplji lubanje oko pola minute. Zatim pogledajte svijetli list papira, svijetli zid, strop, i vidjet ćete bijelu lubanju s tamnim udubljenjima na mjestu očiju, nosa, usta. Što je površina udaljenija od vas, to veća veličina lubanju ćete promatrati.

    goruća lampa

    Isto kao i s lubanjom. Trideset sekundi pažljivo promatrajte crnu svjetiljku u samom središtu, zatim pogledajte bijeli zid i lampa će zasvijetliti.

    Engleska kraljica Elizabeta II

    Isto kao i na prethodnim slikama. Gledajte u središte slike trideset sekundi, a zatim u bijelu površinu. Slika će se "pojaviti".

    Iluzije s negativima u boji

    Američka zastava

    Opet pažljivo gledamo u točku u središtu slike trideset sekundi, zatim u bijelu površinu i tamo nalazimo američku zastavu u ispravnoj boji.

    Zastava Brazila

    Zastava Malezije

    Zastava Francuske

    Zastava Kanade

    Zastava Indije

    Zastava Italije

    Zastava Velike Britanije

    Iluzije kretanja

    Pogledajte fotografije i one će se početi pomicati. Pogledajte iste kuglice koje se kreću i vidjet ćete da su različitih veličina. Ista rotirajuća slika može se rotirati različite strane, ili čak napraviti oscilatorne pokrete.

    fraktalna iluzija

    Postoji iluzija da uzorak pulsira

    Okreću li se krugovi?

    Iluzija zrna kave

    Percepcija veličine

    Iluzije često dovode do potpuno netočnih kvantitativnih procjena stvarnih geometrijskih veličina. Ispada da se može pogriješiti za 25% ili više ako se procjene oka ne provjere ravnalom. Očne procjene geometrijskih stvarnih veličina jako ovise o prirodi pozadine slike. To se odnosi na duljine (Ponzo iluzija), površine, polumjere zakrivljenosti. Također se može pokazati da ono što je rečeno vrijedi za kutove, oblike i tako dalje.

    Čitatelju se nudi knjiga koju je napisao izvanredni popularizator znanosti Ya. I. Perelman i posvetio je optičkim iluzijama. Knjiga sadrži izbor glavnih vrsta iluzija ili, kako ih autor naziva, vizualnih prijevara, koje se mogu promatrati u uvjetima prirodnog vida, bez ikakvih prilagodbi. Autor se radije ograničio na iznošenje neosporne građe činjenica, suzdržavajući se od objašnjenja njihovih razloga, s izuzetkom iluzija vezanih uz portrete, za koje je objašnjenje dano na kraju knjige. Knjiga je namijenjena širok raspončitateljima, budući da optičke iluzije zanimaju ne samo fizičare, fiziologe, liječnike, psihologe, filozofe, umjetnike, već i svaki radoznali um.

    Izdavač: "LKI" (2015)

    Format: meki sjajni, 128 stranica.

    ISBN: 9785382015545

    Perelman Ya.

    Jakov Perelman
    Ime pri rođenju:

    Jakov Isidorovič Perelman
    Datum rođenja:
    Mjesto rođenja:
    Datum smrti:
    Mjesto smrti:
    Državljanstvo:
    Okupacija:
    Žanr:
    Debi:

    esej "U vezi s očekivanom vatrenom kišom"

    Jakov Isidorovič Perelman(, -,) - Rus, znanstvenik, popularizator i, jedan od utemeljitelja žanra, te utemeljitelj, autor koncepta znanstvena fantastika.

    Biografija

    Yakov Isidorovich Perelman rođen je 4. prosinca (22. studenog, stari stil) 1882. u gradu pokrajine Grodno (sada je Bialystok dio). Otac mu je radio kao računovođa, majka je predavala osnovna škola. Brat Jakova Perelmana, Osip Isidorovich, bio je prozni pisac i pisao je na ruskom i na (pseudonim Osip Dymov).

    1916. - objavljen je drugi dio knjige "Zabavna fizika".

    Bibliografija

    Perelmanova bibliografija uključuje više od 1000 članaka i bilješki koje je objavio u raznim publikacijama. I to uz 47 znanstveno-popularnih, 40 edukativnih knjiga, 18 školskih udžbenika i nastavnih sredstava.

    Prema podacima Svesavezne knjižne komore, iz godine u godinu njegove su knjige samo u našoj zemlji objavljene 449 puta; ih ukupna cirkulacija iznosila je više od 13 milijuna primjeraka. Tiskani su:

    • na ruskom 287 puta (12,1 milijuna primjeraka);
    • na 21 jeziku naroda SSSR-a - 126 puta (935 tisuća primjeraka).

    Prema izračunima moskovskog bibliofila Yu. P. Iroshnikova, knjige Ya. I. Perelmana objavljene su 126 puta u 18. strane zemlje na jezicima:

    • njemački - 15 puta;
    • francuski - 5;
    • poljski - 7;
    • engleski - 18;
    • bugarski - 9;
    • češki - 3;
    • albanski - 2;
    • hindski - 1;
    • mađarski - 8;
    • novi grčki - 1;
    • rumunjski - 6;
    • španjolski - 19;
    • portugalski - 4;
    • talijanski - 1;
    • finski - 4;
    • na orijentalnim jezicima - 7;
    • drugi jezici - 6 puta.

    knjige

    • ABC metričkog sustava. L., Znanstvena naklada, 1925
    • Brzi račun. L., 1941
    • Na svjetske daljine (o međuplanetarnim letovima). M., Izdavačka kuća Osoaviahima SSSR-a, 1930
    • Zabavni zadaci. Str., Izdavačka kuća A. S. Suvorina, 1914.
    • Večeri zabavne znanosti. Pitanja, zadaci, pokusi, opažanja iz područja astronomije, meteorologije, fizike, matematike (u suautorstvu s V. I. Prjanišnikovim). L., Lenoblono, 1936.
    • Izračuni s približnim brojevima. M., APN SSSR, 1950.
    • Novinski list. električni pokusi. M. - L., Duga, 1925.
    • Geometrija i počeci trigonometrije. Kratki udžbenik i zbirka zadataka za samoobrazovanje. L., Sevzappromburo Vrhovnog gospodarskog vijeća, 1926.
    • daleki svjetovi. Astronomski eseji. Str., Izdavačka kuća P. P. Soikina, 1914.
    • Za mlade matematičare. Prvih sto zagonetki. L., Počeci znanja, 1925.
    • Za mlade matematičare. Drugih sto zagonetki. L., Počeci znanja, 1925.
    • Za mlade fizičare. Doživljaji i zabava. Str., Počeci znanja, 1924.
    • Živa geometrija. Teorija i zadaci. Harkov - Kijev, Unizdat, 1930.
    • Živa matematika. Matematičke priče i zagonetke. M.-L., PTI, 1934
    • Zagonetke u zanimljivostima u svijetu brojeva. Str., Nauka i škola, 1923.
    • Zabavna algebra. L., Vrijeme, 1933.
    • Zabavna aritmetika. Zagonetke i zanimljivosti u svijetu brojeva. L., Vrijeme, 1926.
    • Zabavna astronomija. L., Vrijeme, 1929.
    • Zabavna geometrija. L., Vrijeme, 1925.
    • Zabavna geometrija na otvorenom i kod kuće. L., Vrijeme, 1925.
    • Zabavna matematika. L., Vrijeme, 1927.
    • Zabavna matematika u pričama. L., Vrijeme, 1929.
    • Zabavna mehanika. L., Vrijeme, 1930.
    • Zabavna fizika. Knjiga. 1 St. Petersburg, Izdavačka kuća P. P. Soikina, 1913.
    • Zabavna fizika. Knjiga. 2. Str., Izdavačka kuća P. P. Soikina, 1916. (do 1981. - 21 izdanje).
    • Zabavni zadaci. L., Vrijeme, 1928.
    • Zabavni zadaci i iskustva. M., Detgiz, 1959.
    • Znate li fiziku? (Tjelesni kviz za mlade). M. - L., GIZ, 1934.
    • Do zvijezda na raketi. Harkov, ukr. radnik, 1934. god.
    • Kako rješavati probleme iz fizike. M. - L., ONTI, 1931.
    • Matematika na otvorenom. L., Politehnička škola, 1931.
    • Matematika na svakom koraku. knjiga za izvannastavna lektiraškole FZS. M. - L., Učpedgiz, 1931.
    • Između ovoga i tada. Doživljaji i zabava za stariju djecu. M. - L., Duga, 1925.
    • Međuplanetarna putovanja. Letovi u svjetski svemir i postignuća nebeska tijela. Str., Izdavačka kuća P. P. Soikina, 1915. (10).
    • Metrički sustav. Svakodnevni priručnik. Str., Znanstvena naklada, 1923.
    • Znanost u slobodno vrijeme. L., Mlada garda, 1935.
    • Znanstveni zadaci i zabava (zagonetke, pokusi, nastava). M. - L., Mlada garda, 1927.
    • Ne vjeruj svojim očima! L., Surf, 1925.
    • Nove i stare mjere. Metričke mjere u svakodnevnom životu, njihove prednosti. Najjednostavnije metode prijevoda na ruski. str., ur. časopis "U radionici prirode", 1920.
    • Nova knjiga zadataka za kratki tečaj geometrija. M. - L., GIZ, 1922.
    • Nova knjiga zadataka iz geometrije. Str., GIZ, 1923.
    • Optičke iluzije. Str., Znanstvena naklada, 1924.
    • Let na mjesec. Moderni projekti međuplanetarni letovi. L., Sijač, 1925.
    • Promicanje metričkog sustava. Metodičko uputstvo za nastavnike i nastavnike. L., Znanstvena naklada, 1925.
    • Putovanje planetom (Physics of Planets). Str., Izdavačka kuća A. F. Marxa, 1919.
    • Zabava sa šibicama. L., Surf, 1926.
    • Raketa na mjesec. M. - L., GIZ, 1930.
    • Tehnička fizika. Vodič za samostalno učenje i zbirka praktične vježbe. L., Sevzappromburo Vrhovnog gospodarskog vijeća, 1927.
    • Puzzle figure od 7 dijelova. M. - L., Duga, 1927.
    • Fizika na svakom koraku. M., Mlada garda, 1933.
    • Fizički čitač. Priručnik iz fizike i knjiga za čitanje.
      • Problem. I. Mehanika. Str., Sijač, 1922.;
      • problem II. Toplina, str., Sijač, 1923.;
      • problem III. Zvuk. L., GIZ, 1925.;
      • problem IV. Svjetlo. L., GIZ, 1925.
    • Fokusi i zabava. Čudo našeg doba. Divovske brojke. Između ovoga i tada. L., Duga, 1927.
    • Čitanka-zadatnica iz elementarne matematike (za radne škole i samoobrazovanje odraslih). L., GIZ, 1924.
    • Ciolkovski. Njegov život, izumi i znanstveni radovi. U povodu 75. obljetnice rođ. M. - L., GTTI, 1932.
    • Tsiolkovsky K. E. Njegov život i tehničke ideje. M. - L., ONTI, 1935.
    • Divovske brojke. M. - L., Duga, 1925.
    • Čudo našeg doba. M. - L., Duga, 1925.
    • Mladi geodet. L., Surf, 1926.
    • Kutija zagonetki i trikova. M. - L., GPZ, 1929.