Formula površine poligona s različitim stranicama. Površina poligona

\[(\Large(\text(Osnovne činjenice o području)))\]

Možemo reći da je površina poligona vrijednost koja označava dio ravnine koji dani poligon zauzima. Jedinica površine se uzima kao površina kvadrata sa stranicom \(1\) cm, \(1\) mm, itd. (jedan kvadrat). Tada će se površina mjeriti u cm\(^2\) , odnosno mm\(^2\).

Drugim riječima, možemo reći da je površina figure vrijednost čija numerička vrijednost pokazuje koliko puta jedinični kvadrat stane u datu figuru.

Svojstva područja

1. Površina bilo kojeg poligona je pozitivna vrijednost.

2. Jednaki poligoni imaju jednake površine.

3. Ako je mnogokut sastavljen od više poligona, tada je njegova površina jednaka zbroju površina tih poligona.

4. Površina kvadrata sa stranicom \(a\) je \(a^2\) .

\[(\Large(\text(Površina pravokutnika i paralelograma)))\]

Teorem: površina pravokutnika

Površina pravokutnika sa stranicama \(a\) i \(b\) je \(S=ab\) .

Dokaz

Sastavimo pravokutnik \(ABCD\) u kvadrat sa stranicom \(a+b\) , kao što je prikazano na slici:

Ovaj kvadrat se sastoji od pravokutnika \(ABCD\) , drugog njemu jednakog pravokutnika i dva kvadrata sa stranicama \(a\) i \(b\) . Na ovaj način,

\(\begin(multline*) S_(a+b)=2S_(\text(pr-k))+S_a+S_b \Leftrightarrow (a+b)^2=2S_(\text(pr-k))+ a^2+b^2 \Lijeva desna strelica\\ a^2+2ab+b^2=2S_(\text(pr-k))+a^2+b^2 \Rightright S_(\text(pr-k) )=ab \end(multline*)\)

Definicija

Visina paralelograma je okomica povučena iz vrha paralelograma na stranicu (ili produžetak stranice) koja ne sadrži taj vrh.
Na primjer, visina \(BK\) pada na stranicu \(AD\) , a visina \(BH\) pada na produžetak stranice \(CD\) :


Teorem: površina paralelograma

Površina paralelograma jednaka je umnošku visine i strane na koju je ta visina povučena.

Dokaz

Nacrtajte okomice \(AB"\) i \(DC"\) kao što je prikazano na slici. Imajte na umu da su ove okomice jednake visini paralelograma \(ABCD\) .


Tada je \(AB"C"D\) pravokutnik, dakle \(S_(AB"C"D)=AB"\cdot AD\) .

Imajte na umu da su pravokutni trokuti \(ABB"\) i \(DCC"\) jednaki. Na ovaj način,

\(S_(ABCD)=S_(ABC"D)+S_(DCC")=S_(ABC"D)+S_(ABB")=S_(AB"C"D)=AB"\cdot AD.\)

\[(\Large(\text(Area of ​​​​troangle)))\]

Definicija

Stranicu na koju je u trokutu povučena visina nazvat ćemo osnovicom trokuta.

Teorema

Površina trokuta je pola umnoška njegove baze i visine povučene na tu bazu.

Dokaz

Neka je \(S\) površina trokuta \(ABC\) . Uzmimo stranicu \(AB\) kao osnovicu trokuta i nacrtajmo visinu \(CH\) . Dokažimo to \ Dovršavamo trokut \(ABC\) do paralelograma \(ABDC\) kao što je prikazano na slici:

Trokuti \(ABC\) i \(DCB\) jednaki su po tri stranice (\(BC\) im je zajednička stranica, \(AB = CD\) i \(AC = BD\) kao suprotne stranice paralelograma \ (ABDC\ ) ), pa su im površine jednake. Prema tome, površina \(S\) trokuta \(ABC\) jednaka je polovici površine paralelograma \(ABDC\) , tj. \(S = \dfrac(1)(2)AB\cdotCH\).

Teorema

Ako dva trokuta \(\trokut ABC\) i \(\trokut A_1B_1C_1\) imaju jednake visine, tada se njihove površine odnose kao osnovice na koje su te visine povučene.


Posljedica

Medijan trokuta dijeli ga na dva trokuta jednake površine.

Teorema

Ako dva trokuta \(\trokut ABC\) i \(\trokut A_2B_2C_2\) imaju svaki isti kut, tada su njihove površine povezane kao umnošci stranica koje tvore taj kut.

Dokaz

Neka \(\kut A=\kut A_2\) . Kombinirajmo ove kutove kao što je prikazano na slici (točka \(A\) je poravnata s točkom \(A_2\)):


Nacrtaj visine \(BH\) i \(C_2K\) .

Trokuti \(AB_2C_2\) i \(ABC_2\) imaju istu visinu \(C_2K\), dakle: \[\dfrac(S_(AB_2C_2))(S_(ABC_2))=\dfrac(AB_2)(AB)\]

Trokuti \(ABC_2\) i \(ABC\) imaju istu visinu \(BH\), dakle: \[\dfrac(S_(ABC_2))(S_(ABC))=\dfrac(AC_2)(AC)\]

Množenjem posljednje dvije jednakosti dobivamo: \[\dfrac(S_(AB_2C_2))(S_(ABC))=\dfrac(AB_2\cdot AC_2)(AB\cdot AC) \qquad \text( ili ) \qquad \dfrac(S_(A_2B_2C_2))(S_ (ABC))=\dfrac(A_2B_2\cdot A_2C_2)(AB\cdot AC)\]

Pitagorin poučak

U pravokutnom trokutu kvadrat duljine hipotenuze jednak je zbroju kvadrata duljina kateta:


Vrijedi i obrnuto: ako je u trokutu kvadrat duljine jedne stranice jednak zbroju kvadrata duljina druge dvije stranice, onda je takav trokut pravokutan.

Teorema

Površina pravokutnog trokuta je polovica umnoška krakova.

Teorem: Heronova formula

Neka je \(p\) poluopseg trokuta, \(a\) , \(b\) , \(c\) duljine njegovih stranica, tada je njegova površina jednaka \

\[(\Large(\text(Površina romba i trapeza)))\]

Komentar

Jer romb je paralelogram, onda za njega vrijedi ista formula, tj. Površina romba jednaka je umnošku visine i strane na koju je ta visina povučena.

Teorema

Površina konveksnog četverokuta čije su dijagonale okomite jednaka je polovici umnoška dijagonala.

Dokaz

Promotrimo četverokut \(ABCD\) . Označite \(AO=a, CO=b, BO=x, DO=y\) :


Imajte na umu da je ovaj četverokut sastavljen od četiri pravokutna trokuta, stoga je njegova površina jednaka zbroju površina tih trokuta:

\(\begin(multline*) S_(ABCD)=\frac12ax+\frac12xb+\frac12by+\frac12ay=\frac12(ax+xb+by+ay)=\\ \frac12((a+b)x+(a+b) y)=\frac12(a+b)(x+y)\end(multiline*)\)

Posljedica: površina romba

Površina romba je polovica proizvoda njegovih dijagonala: \

Definicija

Visina trapeza je okomica povučena iz vrha jedne osnovice na drugu osnovicu.

Teorem: površina trapeza

Površina trapeza je polovina zbroja baza puta visine.

Dokaz

Razmotrimo trapez \(ABCD\) s bazama \(BC\) i \(AD\) . Nacrtajte \(CD"\paralelno AB\) kao što je prikazano na slici:


Tada je \(ABCD"\) paralelogram.

Također nacrtamo \(BH"\perp AD, CH\perp AD\) (\(BH"=CH\) su visine trapeza).

Zatim \(S_(ABCD")=BH"\cdot AD"=BH"\cdot BC, \quad S_(CDD")=\dfrac12CH\cdot D"D\)

Jer trapez se sastoji od paralelograma \(ABCD"\) i trokuta \(CDD"\) , tada je njegova površina jednaka zbroju površina paralelograma i trokuta, odnosno:

\ \[=\dfrac12 CH\lijevo(BC+AD"+D"D\desno)=\dfrac12 CH\lijevo(BC+AD\desno)\]

Sve što ima više od dva kuta je poligon, uključujući trokut. Razmotrite kako pronaći područje poligona.

Kako pronaći područje poligona - trokuta

  • S = 1/2×h×b, gdje je h visina, a b stranica.
  • S = 1/2 a×b×sinα, gdje su a i b stranice trokuta, a sinα je sinus kuta između njih.
  • S = √p×(p-a)×(p-b)×(p-c), gdje je p polovica opsega, a b, c su stranice. Ako su poznate sve stranice trokuta, možete pronaći područje pomoću ove formule.
  • S = r×p, gdje je r polumjer upisane kružnice, a p polovica opsega. Ako je krug upisan u trokut, tada se ova formula može koristiti za pronalaženje površine.
  • S = abc/4R, gdje su a, b, c stranice trokuta, a R polumjer opisane kružnice. Ako je trokut upisan u krug, pomoću ove formule možete pronaći površinu trokuta.

Pravokutni trokut

  • S = 1/2×ab, gdje su a i b katete pravokutnog trokuta.
  • S = d×e, gdje su d i e segmenti hipotenuze koji nastaju kada upisana kružnica dodiruje hipotenuzu.
  • S \u003d (p-a) × (p-b), gdje je p pola opsega, a i b su noge.


Jednakokračan trokut

  • S \u003d 1/2 × a² × sina, gdje je a bedro trokuta, sina je kut između bedara.
  • S = b²/4tgα/2, gdje je b osnovica trokuta, a tgα kut između bedara.


Jednakostraničan trokut

  • S \u003d √3 × a² / 4, gdje je a stranica trokuta (bilo koja strana, budući da su u jednakostraničkom trokutu sve strane jednake).
  • S = 3√3×R²/4, gdje je R polumjer kružnice u koju je upisan trokut.
  • S = 3√3×r², gdje je r polumjer kružnice koja je upisana u trokut.
  • S = h²/√3, gdje je h visina jednakostraničnog trokuta.


Kako pronaći površinu poligona - kvadrata

  • S = a², a je stranica kvadrata. Kako su sve stranice kvadrata jednake, dovoljno je jednu njegovu stranicu pomnožiti s drugom.
  • S = d²/2, gdje je d dijagonala kvadrata.


Kako pronaći površinu poligona - pravokutnika

  • S = a×b, gdje su a i b stranice pravokutnika. Kako su nasuprotne stranice u pravokutniku jednake, dovoljno je jednu njegovu stranicu (duljinu) pomnožiti s nesuprotnom, okomitom stranicom (širinom).
  • S = a²+b²=c², gdje je a širina, b duljina, a c dijagonala. Dijagonala dijeli pravokutnik na dva pravokutna trokuta, a ako su u uvjetu zadatka zadane jedna stranica pravokutnika i njegova dijagonala, neće biti teško pronaći treću stranicu pomoću Pitagorinog poučka. Nakon što pronađemo ovu stranu, tražimo površinu koristeći standardnu ​​formulu a × b. Primjer: Širina pravokutnika je 3 cm, dijagonala je 5 cm.Nađi površinu. Zapisujemo 3² + x² = 5². x² = 16 => x = 4. S = a×b = 3×4=12. Odgovor: S pravokutnik = 12cm²


Kako pronaći površinu poligona - trapeza

  • S \u003d (a + b) × h / 2, gdje je a mala, b velika baza trapeza, h je visina.
  • S = h × m, gdje je h visina, m je središnja linija trapeza, jednaka polovici zbroja baza - 1/2 × (a + b).
  • S = 1/2×d1×d2×sinα, gdje su d1 i d2 dijagonale trapeza, a sinα je sinus kuta između njih.
  • S = a+b/2×√c²-((b-a)²+c²-d²/2(b-a))², gdje su a i b osnovice trapeza, c i d su druge dvije stranice.


Jednakokračni trapez

S = 4r²/sinα, gdje je r polumjer upisane kružnice, a sinα sinus kuta između stranice i baze.


Površina pravilnog poligona

  • S = r×p = 1/2×r×n×a, gdje je r polumjer upisane kružnice, p polovina opsega. Da biste pronašli površinu bilo kojeg pravilnog poligona, morate ga razbiti na jednake trokute sa zajedničkim vrhom u središtu upisane kružnice.
  • S = n × a² / 4tg (360 ° / 2n), gdje je n broj stranica pravilnog mnogokuta, a duljina stranice.
    Ova online usluga također će vam pomoći izračunati površinu pravilnog poligona. Samo unesite željenu vrijednost i dobit ćete odgovor.


Površina nepravilnog poligona

Površina nepravilnog poligona može se pronaći pomoću koordinata njegovih vrhova. Ako su gornje koordinate dane u uvjetu problema, tada radimo sljedeće:

  • Napravimo tablicu koja označava slovo koje označava vrh i odgovarajuće koordinate (x; y).
  • Množenje vrijednosti x jedan vrh po vrijednosti g drugi i tako dalje.
  • Zbrajanjem svih vrijednosti dobivamo neki broj.


  • Radimo potpuno istu tablicu, po istom principu množimo g koordinata jednog vrha x koordinata sekunde, zbrojite dobivene vrijednosti.


  • Od zbroja vrijednosti prve tablice oduzimamo zbroj vrijednosti druge tablice.


  • Dobiveni broj podijelimo s 2 i tako nađemo površinu nepravilnog mnogokuta.


Takvu će figuru svakako karakterizirati dvije pozicije:

  1. Susjedne stranice ne pripadaju istom pravcu.
  2. Nesusjedne nemaju zajedničkih točaka, odnosno ne sijeku se.

Da biste razumjeli koji su vrhovi susjedni, morate vidjeti pripadaju li istoj stranici. Ako da, onda susjedni. Inače se mogu povezati segmentom koji se mora nazvati dijagonalom. Mogu se crtati samo u poligonima koji imaju više od tri vrha. Koje vrste postoje? Poligon s više od četiri kuta može biti konveksan ili konkavan. Razlika potonjeg je u tome što neki od njegovih vrhova mogu ležati na različitim stranama ravne linije povučene kroz proizvoljnu stranu poligona.

Površina poligona

Izračunajte površinu poligona pomoću polumjera upisane kružnice i duljine stranice:[ (A×P)/2 ][ Apotem(A) = stranica/(2×Tan(π/N)) ] Unesite duljinu = Unesite broj stranica = Površina Poligon = Izračunajte površinu iz duljine stranice: Površina Poligona = ((strana)² * N) / (4Tan(π / N)) Opseg poligona = N * (stranica) Izračunajte površina iz polumjera opisane kružnice: Površina poligona = ½ * R² * Sin(2π / N) Izračunajte površinu iz polumjera upisane kružnice: Površina poligona = A² * N * Tan(π / N ) gdje je A = R * Cos(π / N) Iz polumjera upisane kružnice i duljine stranice: Površina poligona = ( A * P) / 2 gdje je A = stranica / (2 * Tan (π / N)) gdje je,

  • N = broj strana,
  • A = polumjer upisane kružnice,
  • R = polumjer opisane kružnice,
  • P = Perimetar

Primjeri: Problem 1: Odredite površinu i opseg mnogokuta ako je duljina stranice = 2, a broj stranica = 4.

Površina pravilnog poligona

Iz njega je lako dobiti onaj koji je koristan za posebne slučajeve:

  1. trokuti: S = (3√3)/4 * R2;
  2. kvadrat: S = 2 * R2;
  3. šesterokut: S = (3√3)/2 * R2.

Situacija s netočnom figurom Izlaz kako saznati područje poligona, ako nije točna i ne može se pripisati nijednoj od prethodno poznatih figura, je algoritam:

  • razbijte ga u jednostavne oblike, poput trokuta, tako da se ne sijeku;
  • izračunati njihove površine bilo kojom formulom;
  • zbrojite sve rezultate.

Što učiniti ako zadatak sadrži koordinate vrhova poligona? Odnosno, poznat je skup parova brojeva za svaku točku, koji ograničavaju stranice figure.


Obično se pišu kao (x1; y1) za prvi, (x2; y2) za drugi, a n-ti vrh ima vrijednosti (xn; yn).

Površina i opseg mnogokuta

Tada se površina poligona definira kao zbroj n članova.

Pažnja

Svaki od njih izgleda ovako: ((yi+1 + yi)/2) * (xi+1 - xi).


U ovom izrazu, i se mijenja iz jedan u n. Vrijedno je napomenuti da će znak rezultata ovisiti o obilasku figure.
Kada koristite navedenu formulu i krećete se u smjeru kazaljke na satu, odgovor će biti negativan.


Primjer zadatka Uvjet. Koordinate vrhova dane su sljedećim vrijednostima (0,6; 2,1), (1,8; 3,6), (2,2; 2,3), (3,6; 2,4), (3,1; 0,5).

Info

Morate izračunati površinu poligona. Riješenje.


Prema gornjoj formuli, prvi član će biti jednak (1,8 + 0,6) / 2 * (3,6 - 2,1). Ovdje samo trebate uzeti vrijednosti ​​​​za y i x iz druge i prve točke. Jednostavan izračun će dovesti do rezultata 1.8. Drugi član se dobiva na sličan način: (2,2 + 1,8) / 2 * (2,3 - 3,6) = -2,6. Prilikom rješavanja takvih problema nemojte se bojati negativnih vrijednosti.
Sve ide kako treba.
Korak 1: Pronađite polumjer upisane kružnice. A = R * Cos(π / N)= 2 * Cos(3,14 / 5)= 2 * Cos(0,63)= 2 * 0,81Apotem (polumjer upisane kružnice) = 1.62. Korak 2: Pronađite površinu Površina = A² * N * Tan(π / N)= 1,62² * 5 * Tan(3,14 / 5)= 2,62 * 5 * Tan(0,63)= 13,1 * 0,73 Površina = 9,5. Zadatak 4: Odredite površinu mnogokuta koristeći apotemu (polumjer upisane kružnice) ako je duljina stranice 2, a broj stranica 5. Korak 1: Pronađite apotemu. Apotem = duljina stranice / (2 * Tan (π / N))= 2 / ( 2 * Tan (π / 4)) = 2 / (2 * Tan (0,785)) = 2 / (2 * 0,999) = 2 / 1,998 Apotem (A) = 1. 2. korak: Pronađite opseg. Opseg (P) = (N * (duljina stranice) = 4 * 2 = 8 3. korak: Pronađite površinu. Površina = (A * P) / 2= (1 * 8) / 2= 8/2 Površina = 4.

Gornji primjeri pokazuju kako ručno izračunati površinu i opseg poligona.

pravilan poligon

S tan⁡〖(180°)/n〗)/n)/2 tan⁡〖(180°)/n〗=√(S/(n tan⁡〖(180°)/n〗)) R=a/ (2 sin⁡〖(180°)/n〗)=√((4S tan⁡〖(180°)/n〗)/n)/2 sin⁡〖(180°)/n〗=√(S/( n cos⁡〖(180°)/n〗)) Moguće je izračunati opseg pravilnog mnogokuta u smislu površine ako ga predstavimo kao umnožak broja stranica n s radikalom dobivenim umjesto stranice , a zatim pojednostavite izraz uvođenjem n ispod korijena. P=na=n√((4S tan⁡〖(180°)/n〗)/n)=√(4nS tan⁡〖(180°)/n〗) Kut pravilnog poligona može se izračunati iz formule koji ima samo jednu varijablu - broj stranica figure, dakle, ne zahtijeva nikakve promjene.

Kalkulator površine poligona

Zamjenom umjesto n broja strana figure, možete dobiti formulu za određivanje površine bilo kojeg pravilnog poligona, koja će biti površina kvadrata a ^ 2, pomnožena s a određeni koeficijent.

Zanimljivo je da će se s povećanjem broja uglova povećati i ovaj koeficijent, na primjer, za peterokut - 1,72, a za šesterokut - 2,59. Budući da se krug može opisati ili upisati oko svakog pravilnog mnogokuta, možemo koristiti odgovarajuće polumjere za izračunavanje površina mnogokuta.

Stranica i polumjer opisane kružnice za bilo koji mnogokut odnose se kao: a = R × 2 sin (pi/n), gdje je R polumjer opisane kružnice, n broj stranica geometrijske figure.

Za kružnicu upisanu u mnogokut omjer se malo mijenja i izgleda ovako: a = r × 2 tg (pi/n), gdje je r polumjer upisane kružnice.

Kako izračunati površinu pravilnog poligona

Primjer poligona Ovaj kalkulator izračunava površinu poligona s obzirom na unesene stranice i dijagonale koje dijele poligon na trokute koji se ne sijeku.

Gledamo sliku - površina poligona ABCDE može se izračunati kao zbroj površina trokuta ABD, BCD i ADE.

Da biste to učinili, naravno, osim duljina stranica mnogokuta, morate znati i duljine dijagonala BD i AD, ali to je sve što trebate - površinu bilo kojeg trokuta možete izračunati samo duljinama njegovih stranica, bez mjerenja kutova.

I to je prilično zgodno, na primjer, za popravke u kućanstvu - duljine je nekako lakše mjeriti od kutova.

Dakle, izmjerimo duljine stranica mnogokuta koji nas zanima, stavimo ih u tablicu, mentalno podijelimo mnogokut na trokute, izmjerimo potrebne dijagonale, također ih stavimo u tablicu, nakon čega kalkulator izračunava površinu cijelu figuru.

Kako pronaći površinu poligona?

Što učiniti s pravilnim poligonom koji ima više od četiri vrha? Za početak, takvu figuru karakterizira činjenica da su u njoj sve strane jednake. Osim toga, poligon ima iste kutove. Ako je krug opisan oko takve figure, tada će se njegov radijus podudarati s segmentom od središta poligona do jednog od vrhova. Stoga, kako bi se izračunala površina pravilnog poligona s proizvoljnim brojem vrhova, potrebna je sljedeća formula: Sn = 1/2 * n * Rn2 * sin (360º/n), gdje je n broj vrhovi poligona.
Dakle, da biste odredili površinu bilo kojeg pravilnog poligona, morate odrediti broj strana n i bilo koji parametar za odabir:

  • duljina stranice a;
  • polumjer upisane kružnice r;
  • polumjer opisane kružnice R.

Razmotrite nekoliko primjera za pronalaženje površine bilo kojeg poligona.

Primjeri iz života Saće Saće je jedinstveni prirodni objekt koji se sastoji od mnogo šesterokutnih prizmatičnih ćelija.

Izbrojimo koliko je takvih šesterokuta u jednom saću.

Da bismo to učinili, moramo znati ukupnu površinu i površinu jedne ćelije.

Iz Wikipedije znamo da standardni okvir saća ima dimenzije 435 x 300 mm, odnosno ukupna površina iznosi 130.500 četvornih milimetara.

Također navodi da je vodoravni promjer jedne ćelije približno 5,5 mm.

Dijagonala 2 Kut α ($ main.angles $) Kut β ($ main.angles $) Unesite bilo koje 3 vrijednosti Strana A Strana B Visina ha Visina hb Dijagonala 1 Dijagonala 2 Kut α ($ main.angles $) Kut β ( $ main .angles $) Unesite bilo koje 3 vrijednosti Base A Base C Height H Pad strane kako biste pronašli perimetar Side B Side D Unesite 1 vrijednost Side A Polumjer opisane kružnice (R) Polumjer upisane kružnice (r) Broj stranica poligona Unesite 1 vrijednost Polumjer stranice A Polumjer upisane kružnice (R) Polumjer upisane kružnice (r) Unesite 1 vrijednost Polumjer stranice A = Polumjer upisane kružnice (R) Polumjer upisane kružnice (r) Rezultat izračuna

  • Perimetar: ($rezultat.p|broj:4$)
  • Područje: ($rezultat.s|broj:4$)

Poligon ili poligon je geometrijski lik koji ima n-ti broj uglova.
Općenito, poligon je dio ravnine koji je omeđen zatvorenom polilinijom.

Geometrija poligona Općenito, takva geometrijska figura može imati apsolutno bilo koji oblik.

Na primjer, simboli zvijezde i kompasa, poligon za modeliranje ili lice zupčanika su poligoni.

Poligonalne figure dijele se u dvije skupine:

  • nekonveksne, koje imaju bilo koji bizaran oblik s mogućim samosjecima (najočitiji primjer je zvijezda);
  • konveksni, čije su sve točke na istoj strani pravca povučenog kroz dva susjedna vrha (kvadrat, trokut).

Konveksni mnogokut, u kojem su svi kutovi jednaki i sve stranice jednake, smatra se pravilnim i ima svoje ime.

U geometrijskim problemima često je potrebno izračunati površinu poligona. Štoviše, može imati prilično raznolik oblik - od poznatog trokuta do nekog n-kuta s nekim nezamislivim brojem vrhova. Osim toga, ti poligoni su ili konveksni ili konkavni. U svakoj konkretnoj situaciji treba se graditi na izgledu figure. To će vam omogućiti da odaberete najbolji način rješavanja problema. Slika se može pokazati točnom, što će uvelike pojednostaviti rješenje problema.

Malo teorije o poligonima

Ako nacrtate tri ili više linija koje se sijeku, tada one tvore određenu figuru. Ona je poligon. Po broju presječnih točaka postaje jasno koliko će vrhova imati. Oni daju ime dobivenoj figuri. To bi mogao biti:

Takvu će figuru svakako karakterizirati dvije pozicije:

  1. Susjedne stranice ne pripadaju istom pravcu.
  2. Nesusjedne nemaju zajedničkih točaka, odnosno ne sijeku se.

Da biste razumjeli koji su vrhovi susjedni, morate vidjeti pripadaju li istoj stranici. Ako da, onda susjedni. Inače se mogu povezati segmentom koji se mora nazvati dijagonalom. Mogu se crtati samo u poligonima koji imaju više od tri vrha.

Koje vrste postoje?

Poligon s više od četiri kuta može biti konveksan ili konkavan. Razlika potonjeg je u tome što neki od njegovih vrhova mogu ležati na različitim stranama ravne linije povučene kroz proizvoljnu stranu poligona. U konveksnom pravcu svi vrhovi uvijek leže na istoj strani takvog pravca.

U školskom tečaju geometrije većina vremena posvećena je konveksnim figurama. Stoga je u zadacima potrebno saznati područje konveksnog poligona. Zatim postoji formula u smislu polumjera opisane kružnice, koja vam omogućuje da pronađete željenu vrijednost za bilo koju figuru. U drugim slučajevima ne postoji jedinstveno rješenje. Za trokut je formula jedna, ali za kvadrat ili trapez potpuno su različite. U situacijama kada je lik netočan ili ima mnogo vrhova, uobičajeno ih je podijeliti na jednostavne i poznate.

Što učiniti ako lik ima tri ili četiri vrha?

U prvom slučaju, ispostavit će se da je trokut, a možete koristiti jednu od formula:

  • S \u003d 1/2 * a * n, gdje je a strana, n je visina do nje;
  • S \u003d 1/2 * a * b * sin (A), gdje su a, b stranice / s trokuta, A je kut između poznatih strana;
  • S \u003d √ (p * (p - a) * (p - c) * (p - c)), gdje je c stranica trokuta, na dva već navedena, p je poluperimetar, tj. zbroj sve tri strane, podijeljen s dva .

Figura s četiri vrha može se pokazati kao paralelogram:

  • S = a * n;
  • S \u003d 1/2 * d 1 * d 2 * sin (α), gdje su d 1 i d 2 dijagonale, α je kut između njih;
  • S = a * u * sin(α).

Formula za područje trapeza: S \u003d n * (a + b) / 2, gdje su a i b duljine baza.

Što učiniti s pravilnim poligonom koji ima više od četiri vrha?

Za početak, takvu figuru karakterizira činjenica da su u njoj sve strane jednake. Osim toga, poligon ima iste kutove.

Ako je krug opisan oko takve figure, tada će se njegov radijus podudarati s segmentom od središta poligona do jednog od vrhova. Dakle, da bi se izračunala površina pravilnog poligona s proizvoljnim brojem vrhova, potrebna je sljedeća formula:

S n = 1/2 * n * R n 2 * sin (360º/n), gdje je n broj vrhova poligona.

Iz njega je lako dobiti onaj koji je koristan za posebne slučajeve:

  1. trokut: S \u003d (3√3) / 4 * R 2;
  2. kvadrat: S \u003d 2 * R 2;
  3. šesterokut: S = (3√3)/2 * R 2 .

Situacija s pogrešnom figurom

Izlaz kako saznati područje poligona, ako nije točno i ne može se pripisati nijednoj od prethodno poznatih figura, je algoritam:

  • razbijte ga u jednostavne oblike, poput trokuta, tako da se ne sijeku;
  • izračunati njihove površine bilo kojom formulom;
  • zbrojite sve rezultate.

Što učiniti ako zadatak sadrži koordinate vrhova poligona?

Odnosno, poznat je skup parova brojeva za svaku točku, koji ograničavaju stranice figure. Obično se pišu kao (x 1 ; y 1) za prvi, (x 2 ; y 2) za drugi, a n-ti vrh ima sljedeće vrijednosti (x n ; y n). Tada se površina poligona definira kao zbroj n članova. Svaki od njih izgleda ovako: ((y i+1 + y i)/2) * (x i+1 - x i). U ovom izrazu, i se mijenja iz jedan u n.

Vrijedno je napomenuti da će znak rezultata ovisiti o obilasku figure. Kada koristite navedenu formulu i krećete se u smjeru kazaljke na satu, odgovor će biti negativan.

Primjer zadatka

Stanje. Koordinate vrhova dane su sljedećim vrijednostima (0,6; 2,1), (1,8; 3,6), (2,2; 2,3), (3,6; 2,4), (3,1; 0,5). Morate izračunati površinu poligona.

Riješenje. Prema gornjoj formuli, prvi član će biti jednak (1,8 + 0,6) / 2 * (3,6 - 2,1). Ovdje samo trebate uzeti vrijednosti ​​​​za y i x iz druge i prve točke. Jednostavan izračun će dovesti do rezultata 1.8.

Drugi član se dobiva na sličan način: (2,2 + 1,8)/2 * (2,3 - 3,6) = -2,6. Prilikom rješavanja takvih problema nemojte se bojati negativnih vrijednosti. Sve ide kako treba. Ovo je planirano.

Slično se dobivaju vrijednosti za treći (0,29), četvrti (-6,365) i peti član (2,96). Tada je ukupna površina: 1,8 + (-2,6) + 0,29 + (-6,365) + 2,96 = - 3,915.

Savjeti za rješavanje problema za koji je na papiru u kavezu nacrtan poligon

Najčešće je zagonetno da u podacima postoji samo veličina ćelije. Ali ispada da više informacija nije potrebno. Preporuka za rješavanje takvog problema je razbijanje figure na skup trokuta i pravokutnika. Njihove površine vrlo je jednostavno prebrojati duljinama stranica, koje se zatim lako zbrajaju.

Ali često postoji lakši pristup. Sastoji se od crtanja figure na pravokutnik i izračunavanja vrijednosti njegove površine. Zatim izračunajte površine onih elemenata koji su se pokazali suvišnim. Oduzmite ih od ukupnog broja. Ova opcija ponekad uključuje nešto manji broj radnji.

Sadržaj:

Vrlo je lako izračunati površinu pravilnog trokuta (to je poligon!), a vrlo je teško to učiniti u slučaju nepravilnog jedanaesterokuta (to je također poligon!). Ovaj članak će vam reći kako izračunati površinu različitih poligona.

Koraci

1 Izračunavanje površine pravilnog poligona pomoću apoteme

  1. 1 Formula za pronalaženje površine pravilnog poligona je: Površina = 1/2 x perimetar x apotem.
    • Opseg je zbroj stranica mnogokuta.
    • Apotem je segment koji povezuje središte poligona i sredinu bilo koje njegove stranice (apotem je okomit na stranicu).
  2. 2 Pronađite apotemu. Obično se daje u stanju problema. Na primjer, dan je šesterokut čiji je apotem 10√3.
  3. 3 Pronađite opseg. Ako opseg nije zadan u uvjetu zadatka, tada se može pronaći pomoću dobro poznatog apotema.
    • Šesterokut se može podijeliti na 6 jednakostraničnog trokuta. Apotem prepolovljuje jednu stranicu, stvarajući pravokutni trokut s kutovima od 30-60-90 stupnjeva.
    • U pravokutnom trokutu, stranica nasuprot kutu od 60 stupnjeva je x√3; kut od 30 stupnjeva jednak je "x"; Kut od 90 stupnjeva je 2x. Ako je vrijednost strane x√3 10√3, tada je x = 10.
    • "x" je polovica duljine osnovice trokuta. Udvostručite ga i pronađite punu duljinu baze. U našem primjeru, baza trokuta je 20 jedinica. Zauzvrat, baza trokuta je strana šesterokuta. Dakle, opseg šesterokuta je 20 x 6 = 120.
  4. 4 Uključite vrijednosti apoteme i perimetra u formulu. U našem primjeru:
    • površina = 1/2 x 120 x 10√3
    • površina = 60 x 10√3
    • površina = 600√3
  5. 5 Pojednostavite svoj odgovor. Možda ćete morati napisati svoj odgovor kao decimalu (to jest, riješiti se korijena). Pomoću kalkulatora pronađite √3 i pomnožite dobiveni broj sa 600: √3 x 600 = 1039,2. Ovo je tvoj konačni odgovor.

2 Izračunavanje površine pravilnog poligona pomoću drugih formula

  1. 1 . Formula: površina = 1/2 x baza x visina.
    • Ako vam je dan trokut s bazom 10 i visinom 8, tada je njegova površina = 1/2 x 8 x 10 = 40.
  2. 2 . Da biste pronašli površinu kvadrata, jednostavno kvadrirajte duljinu jedne od njegovih stranica. Ako osnovicu kvadrata pomnožimo s njegovom visinom, dobit ćemo isti odgovor, jer su baza i visina jednake.
    • Ako je stranica kvadrata 6, tada je njegova površina = 6 x 6 = 36.
  3. 3 . Formula: površina = duljina x širina.
    • Ako je duljina pravokutnika 4, a širina 3, tada je njegova površina = 4 x 3 = 12.
  4. 4 . Formula: Površina = [(baza1 + baza2) x visina] / 2.
    • Na primjer, dan je trapez s bazama 6 i 8 i visinom 10. Njegova površina = [(6 + 8) 10]/2 = (14 x 10)/2 = 140/2 = 70.

3 Izračunavanje površine nepravilnog poligona

  1. 1 Koristite koordinate vrha nepravilnog poligona. Poznavajući koordinate vrhova, možete odrediti područje nepravilnog poligona.
  2. 2 Napravite stol. Zapišite koordinate vrhova (x, y) (birajte vrhove redom u smjeru suprotnom od kazaljke na satu). Na kraju liste ponovno upišite koordinatu prvog vrha.
  3. 3 Pomnožite vrijednost x-koordinate prvog vrha s vrijednošću y-koordinate drugog vrha (i tako dalje). Zbrojite rezultate (u našem primjeru zbroj je 82).
  4. 4 Pomnožite y vrijednost prvog vrha s x vrijednošću drugog vrha (i tako dalje). Zbrojite rezultate (u našem primjeru zbroj je -38).
  5. 5 Oduzmite iznos dobiven u koraku 4 od iznosa dobivenog u koraku 3. U našem primjeru: (82) - (-38) = 120.
  6. 6 Rezultat podijelite s 2 da biste pronašli površinu poligona: S=120/2 = 60 (kvadratne jedinice).
  • Ako koordinate vrha napišete u smjeru kazaljke na satu, dobit ćete negativno područje. Stoga se može koristiti za opisivanje ciklusa ili niza zadanog skupa vrhova koji tvore poligon.
  • Ova formula pronalazi površinu zadanu obliku poligona. Ako poligon ima oblik broja 8, tada je potrebno od površine s vrhovima u smjeru kazaljke na satu oduzeti površinu s vrhovima u smjeru suprotnom od kazaljke na satu.