Lucrări de cercetare „iluzii geometrice”. Iluzii cu negative alb-negru

Desenat în fig. 1 grup de ace nu reprezintă nimic special la prima vedere. Dar ridicați cartea la nivelul ochilor și, închizând un ochi, uitați-vă la aceste linii, astfel încât linia vizuală să alunece de-a lungul lor. (Ochiul trebuie plasat în punctul în care se intersectează continuarea acestor linii.) Când sunt privite în acest fel, ți se va părea că ace nu sunt desenate pe hârtie, ci înfipte vertical în ea. Întorcând capul puțin în lateral, vei vedea că știfturile par să se încline în aceeași direcție.


Orez. unu.
Așezați un ochi (cu celălalt închis) aproximativ în punctul în care se intersectează continuarea acestor linii.
Veți vedea un rând de ace, parcă blocați în hârtie.
Când modelul este mișcat ușor dintr-o parte în alta, știfturile par să se clătinească.

Această iluzie este explicată prin legile perspectivei: liniile sunt trasate în felul în care acei blocați care ies vertical ar trebui proiectați pe hârtie atunci când sunt priviți în modul descris mai sus.

Capacitatea noastră de a ceda înșelăciunilor vizuale nu trebuie considerată doar o lipsă de vedere. Are și latura sa foarte benefică, care este adesea uitată. Cert este că, dacă ochii noștri ar fi incapabili să cedeze vreunei înșelăciuni, nu ar exista pictură și am fi lipsiți de toate plăcerile. Arte Frumoase. Artiștii folosesc pe scară largă aceste deficiențe ale vederii. „Pe această înșelăciune se bazează toată arta picturală”, a scris genialul savant XVIII secolul Euler în celebrele sale Scrisori despre diverse chestiuni fizice. - Dacă am fi obișnuiți să judecăm lucrurile după însuși adevăr, atunci această artă (adică arta) nu ar putea avea loc, la fel ca și cum am fi orbi. Degeaba artistul și-ar fi epuizat toată arta amestecând culorile; am spune: iată o pată roșie pe această tablă; aici este albastru, aici negru și acolo niște linii albicioase; totul este pe aceeași suprafață, nu este vizibilă nicio diferență de distanță pe ea și nu ar fi posibil să se înfățișeze un singur obiect. Orice s-ar fi scris în poză, ni s-ar părea ca o scrisoare pe hârtie... Cu această perfecțiune, nu am fi vrednici de milă, fiind lipsiți de plăcerea ce ne aduce zilnic o artă atât de plăcută și de folositoare?

Există o mulțime de iluzii optice, poți umple un album întreg diverse exemple asemenea iluzii. Multe dintre ele sunt bine cunoscute, altele sunt mai puțin familiare. Iată câteva exemple mai interesante. iluzii optice din cele mai puțin cunoscute. Iluziile din fig. 2 și 3 cu linii pe un fundal de grilă: ochiul refuză în mod pozitiv să creadă că literele din fig. 2 sunt așezate drepte. Este și mai greu de crezut că în fig. 43 în fața noastră nu este o spirală. Trebuie să te convingi de asta printr-un test direct: punând vârful unui creion pe una dintre ramurile unei spirale imaginare, cerc în arce, fără a se apropia sau îndepărta de centru.


Orez. 2. Literele sunt așezate drept.


Orez. 3. Liniile curbe ale acestei figuri par a fi o spirală; Între timp, acestea sunt cercuri, ceea ce este ușor de verificat prin deplasarea unui chibrit ascuțit de-a lungul lor.

La fel, doar cu ajutorul unei busole, putem verifica că în fig. 4 linia dreaptă AC nu este mai scurtă decât AB.


Orez. 4. Distanțele AB și AC sunt egale, deși prima pare a fi mai lungă.

Esența celorlalte iluzii generate de figurile 5, 6, 7, 8 este explicată în legendele de sub ele. În ce măsură este iluzia din Fig. 7, arată următorul caz curios: editorul uneia dintre edițiile anterioare ale cărții mele, după ce a primit o impresie despre acest clișeu din zincografie, a considerat clișeul neterminat și se pregătea deja să-l returneze la studio pentru a curăța pete cenușii de la intersecția dungilor albe, când am intrat accidental în cameră i-au explicat care a fost problema.

Bugetul de stat invatamantul general

instituție medie şcoală cuprinzătoare № 000

districtul Moskovsky din Sankt Petersburg

Lucrări de cercetare în matematică

Iluzii geometrice „Nu vă credeți ochilor...”

Nominalizare: informaţie - matematică

Efectuat:

Kopach Anna

Momzina Valeria

Școala Gimnazială GBOU Nr. 000

Regiunea Moscova

supraveghetor:

Gaidukova I.N

profesor de matematica,

informatica

St.Petersburg

I. Introducere 3

II. Parte principală

2.1. Iluzii de percepție vizuală. 5

2.2. Optic iluzii geometrice. 6

2.3. Perspectivă pierdută 7

2.4. Fenomenul de iradiere. 9

2.5. Iluzii de prelucrare a informațiilor. zece

2.6. Reevaluarea liniilor verticale. 13

2.7. Utilizarea iluziilor vizuale în viața umană 14

III. Cercetare partea 20

IV. Concluzie. 31

V. Lista literaturii folosite. 32

Aplicație

Introducere.

La lecțiile de geometrie, întâlnim adesea o astfel de problemă: luarea în considerare a proprietăților forme geometrice, unii elevi se bazează uneori doar pe desen, pe percepția lor vizuală. Dar o astfel de abordare a rezolvării unei probleme duce adesea la concluzii eronate și, prin urmare, la o soluție incorectă. Suntem obișnuiți să avem încredere în propria noastră viziune, dar aceasta ne înșală adesea, arătând ceva ce nu există cu adevărat. În astfel de momente, ne confruntăm cu iluzii vizuale - erori de percepție vizuală. Oamenii de știință și artiștii au creat multe imagini înșelătoare care demonstrează în mod clar cât de limitate sunt capabilitățile ochiului uman.

Viziunea umană este complexă și, prin însăși natura ei, dă uneori o impresie falsă a ceea ce vede o persoană de fapt. Cât de des ne eșuează considerentele intuitive, vom vedea astăzi când luăm în considerare unele iluzii optico-geometrice.

Să ne uităm la câteva exemple. Prima afișează iluzia de volum pe pavaj plat.

Pe al doilea, este prezentată o poză în care obiectele situate mai aproape de noi par mai mici decât cele mai îndepărtate de noi, dar de fapt sunt exact aceleași.

În a treia imagine, poate părea cu ușurință că este descrisă o spirală, dar aceasta este din nou doar o iluzie - sunt reprezentate cercurile! ( vezi anexa 1)

De ce se întâmplă asta? De ce același obiect, văzut cu ochiul liber, pare mai mare de aproape decât atunci când îl privim de departe? De ce, pentru a vedea detaliile tabloului atârnat pe perete, ne apropiem de ea? De ce șinele paralele „fug” în depărtare par să se intersecteze într-un punct imaginar? Am încercat să găsim răspunsuri la acestea și la alte „de ce” în munca noastră. De aceea obiectul studiului nostru sunt iluzii vizuale, subiect– studiul cauzelor iluziilor.

Obiectiv:

Ø despreexplica cauzele iluziilor vizuale din punct de vedere geometriei

Ipoteză. Iluziile vizuale pot fi explicate folosind legile geometriei.

Obiectivele cercetării:

Ø explora material teoretic pe această problemă;

Ø luați în considerare exemple de utilizare a iluziilor geometrice.

Ø Efectuați cercetări legate de iluziile geometrice și vizuale, explicați și demonstrați-le din punct de vedere geometriei.

II. Parte principală

Privind lumea, nu putem decât să fii surprins.

K. Prutkov.

2.1. Iluzii de percepție vizuală

Cuvânt "iluzie" vine din latinescul illusere - a înșela. Iluziile opto-geometrice sunt iluzii vizuale, din cauza cărora relațiile spațiale ale trăsăturilor obiectelor percepute sunt distorsionate.

Percepem mediul din jurul nostru ca un dat: o rază de soare care se joacă cu strălucirea la suprafața apei, joc de culori pădure de toamnă, zâmbetul unui copil... Nu avem nicio îndoială că lumea reala exact așa cum o vedem noi. Dar este chiar așa? De ce ne cedează uneori ochii? Cum interpretează creierul uman obiectele percepute? Vom încerca să dezvăluim răspunsurile la aceste și multe alte întrebări în munca noastră.

Este iluzoriu lume vizibilă? O persoană percepe majoritatea informațiilor despre lumea din jurul său prin viziune, dar puțini oameni se gândesc la cum se întâmplă exact acest lucru. Cel mai adesea, ochiul este considerat ca o cameră sau o cameră de televiziune, proiectând obiecte externe pe retină, care este o suprafață sensibilă la lumină. Creierul „se uită” la această imagine și „vede” tot ce ne înconjoară. Cu toate acestea, nu toate sunt atât de simple.

În primul rând, imaginea de pe retină este cu susul în jos.

În al doilea rând, datorită proprietăților optice imperfecte ale ochiului, imaginea de pe retină este defocalizată sau pătată.

În al treilea rând, ochiul face mișcări constante, adică imaginea este într-o dinamică constantă.

În al patrulea rând, ochiul clipește de aproximativ 15 ori pe minut, ceea ce înseamnă că imaginea încetează să mai fie proiectată pe retină la fiecare 5-6 secunde.

Deci, ce „vede” creierul?

Deoarece o persoană are vedere binoculară, de fapt, vede două imagini neclare, zvâcnitoare și care dispar periodic, ceea ce înseamnă că există o problemă de a combina informațiile care vin prin ochiul drept și cel stâng.

Un alt paradox al viziunii noastre trebuie remarcat. Imaginați-vă un inginer căruia i se dă sarcina de a crea un dispozitiv care afișează informații ușoare despre lumea exterioară. Cum ar aranja elementele fotosensibile? Cel mai probabil, acestea ar fi orientate către lumina incidentă. Un inginer numit „Natura” a orientat elementele noastre sensibile la lumină – tijele și conurile retinei – nu „fața”, ci „spatele” către lumina incidentă. Pentru ce? Există destul de multe astfel de întrebări atunci când se analizează studiile de percepție vizuală. Există multe direcții științifice, care, folosind diverse metode experimentaleîncercând să înțelegem cum percepem lumea din jurul nostru. Una dintre cele mai interesante moduri de a studia este studiul iluziilor vizuale.

2.2. Iluzii optico-geometrice.

Mulți cercetători au studiat cauzele iluziilor. Întrebare principală , care interesează nu numai psihologi, ci și artiști, - deoarece pe baza unei imagini bidimensionale, pe retină este recreată o lume vizibilă tridimensională.

Poate că sistemul vizual folosește anumite semne de adâncime și distanță, de exemplu, principiul perspectivei, care presupune că toate liniile paralele converg la orizont, iar dimensiunea unui obiect scade proporțional pe măsură ce se îndepărtează de observator.

Iluzii ale distorsiunii percepției dimensiunii.

Una dintre cele mai cunoscute iluzii optico-geometrice - iluzia Muller-Lyer.

Iluzia Muller-Lyer în viața de zi cu zi

Suntem înconjurați de multe obiecte dreptunghiulare: camere, ferestre, case, ale căror contururi tipice pot fi văzute în figură. Prin urmare, o imagine în care liniile diverg poate fi percepută ca un colț al clădirii situat mai departe de observator, în timp ce un model în care liniile converg este perceput ca un colț al clădirii situat mai aproape.

2.3. Încălcarea perspectivei

Vedem adesea linii paralele care converg în depărtare (pânză calea ferata, autostrada etc.). Acest fenomen se numește perspectivă. Pentru a înfățișa într-un desen o anumită parte a spațiului plină cu obiecte, astfel încât desenul să dea impresia de realitate, este necesar să poți folosi legile perspectivei. Toate liniile din acest desen, care sunt de fapt paralele cu suprafața, ar trebui să fie prezentate convergând într-un punct de la orizont, numit „punct de fugă”. Liniile care merg în unghiuri diferite ar trebui să convergă pe una sau pe cealaltă parte a „punctului de fuga”, cu cât mai departe de acesta, cu atât este mai mare unghiul față de linia de vedere directă pe care o trec. Dintre aceste puncte, cel mai remarcabil este punctul în care liniile converg la un unghi de 45 de grade față de linia de vedere directă; acest punct se numește „punct de distanță”. Este remarcabil prin faptul că dacă puneți un ochi în fața lui la distanță egal cu distanta de la „punctul de fuga” la „punctul de distanță”, apoi desenul dă impresia de volum. Percepția în perspectivă a spațiului dezvoltată secole de evoluție viziune, o persoană se transferă și la picturile și fotografiile pe care le are în vedere, care înfățișează obiecte echidistante. În figură, coridorul pare voluminos tocmai din cauza perspectivei: coridorul de pe el merge adânc, iar podeaua este formată din dreptunghiuri.

iluzie de perspectivă. Au fost propuse multe teorii pentru a explica aceste distorsiuni. Una dintre cele mai interesante ipoteze sugerează că o persoană interpretează ambele imagini ca imagini plate în perspectivă. Convergența razelor oblice la un moment dat creează semne de perspectivă și unei persoane i se pare că segmentele sunt situate la adâncimi diferite față de observator.

Având în vedere aceste semne, precum și aceeași proiecție a segmentelor pe retină, sistemul vizual este forțat să concluzioneze că acestea marimi diferite. Acele fragmente ale imaginii care par mai îndepărtate sunt percepute ca mari ca dimensiuni.

Un exemplu al modului în care o imagine integrală a unui obiect poate fi distrusă este așa-numitele figuri „imposibile”, contradictorii, imagini. cu o perspectivă ruptă.

"Scările Penrose imposibile. Privește imaginea și răspunde la întrebarea: persoana se mișcă în sus?

Fiecare etapă individuală de scări ne spune că o persoană urcă, totuși, după ce a trecut de patru etape, se găsește în același loc din care și-a început călătoria. Scara „imposibilă” nu este percepută ca un întreg, deoarece nu există consistență între fragmentele sale individuale. Din când în când, urmăm scările care duc în sus, încercând să găsim o modalitate de a rezolva această problemă și nu o găsim.

https://pandia.ru/text/78/016/images/image006_116.gif" align="left" width="367" height="140 src="> Următoarea figură servește ca exemplu în acest sens: cubul pare să fie vizibilă de sus, uneori din lateral, cartea deschisă pare acum înfățișată cu coloana vertebrală spre noi, alteori cu coloana vertebrală departe de noi. Acest lucru se întâmplă atât în ​​voia noastră, cât și involuntar și uneori chiar contrar dorinței noastre.

2.4 Fenomenul de iradiere

Care dintre pătratele interioare este mai mare? Negru sau alb?

Fenomenul de iradiere constă în faptul că obiectele luminoase pe un fundal întunecat par a fi mai mari decât dimensiunile lor reale și, parcă, captează o parte din fundalul întunecat. Când luăm în considerare o suprafață deschisă pe un fundal întunecat, din cauza imperfecțiunii lentilei, limitele acestei suprafețe par să se depărteze, iar această suprafață ni se pare mai mare decât dimensiunile ei geometrice adevărate. În figură datorită luminozității culorilor Pătrat alb pare a fi mult mai mare decât pătratul negru de pe fundal alb.

Este curios de observat că, știind despre această proprietate a negrului de a ascunde dimensiunile, dueliștii din secolul al XIX-lea au preferat să tragă în costume negre în speranța că inamicul va rata când trage.

Următorul exemplu: priviți imaginea de la distanță și răspundeți câte cercuri negre ar putea încăpea în spațiul liber dintre cercul de jos și unul dintre cercurile de sus - patru sau cinci? Cel mai probabil, vei răspunde că patru cercuri se vor potrivi liber, dar pentru al cincilea, poate, nu va mai rămâne loc.

De fapt, exact trei cercuri se potrivesc în gol. Cu toate acestea, dacă luați hârtie, o busolă sau o riglă, puteți fi sigur că așa este.

Această iluzie ciudată, în virtutea căreia zonele negre apar ochiului nostru mai mici decât zonele albe de această mărime, se numește „iradiere”. Depinde de imperfecțiunea ochiului nostru, care, ca aparat optic, nu îndeplinește pe deplin cerințele stricte ale opticii. Mediile sale de refracție nu dau pe retină acele contururi ascuțite care se obțin pe sticla mată a unui aparat fotografic bine antrenat: datorită așa-numitei aberații sferice, fiecare contur de lumină este înconjurat de o margine de lumină, care îi mărește dimensiunea. pe retina ochiului. Drept urmare, zonele luminoase ni se par întotdeauna mai mari decât cele negre egale cu ele.

2.5 Iluzia procesării informațiilor

Unele iluzii apar în legătură cu procesarea informațiilor primite. O persoană vede uneori lumea nu așa cum este cu adevărat, ci așa cum și-ar dori să o vadă, cedând în fața obiceiurilor formate, a viselor ascunse sau a dorințelor pasionale. El caută forma dorită, culoarea sau altă calitate distinctivă a unui obiect dintre cele prezentate lumii exterioare. Această proprietate a selectivității se numește fenomenul pregătirii perceptive.

Uită-te la desen. Este simbolul din centru o literă sau un număr? Dacă luăm în considerare un rând vizual orizontal format din litere, centrul va fi „B” - observatorul este pregătit pentru aceasta prin rândul de litere. Dacă te uiți la rândul vertical, se dovedește că aceasta nu este deloc o literă, ci numărul 13 - numerele au determinat această decizie.

Astfel de iluzii se datorează mai multor nivel inalt prelucrarea informațiilor, atunci când natura problemei care se rezolvă determină ceea ce o persoană percepe în lumea din jurul său. Caracteristicile selectivității percepției sunt interesante. Dacă îi spui unei persoane: în această carte există numele tău de familie, atunci el va putea derula foarte repede paginile și va găsi o mențiune despre el însuși. Mai mult, nu se pune problema vreunei lecturi a textului.

Astfel de aptitudini sunt posedate de corectori, care izolează într-un mod de neînțeles erorile din text care sunt invizibile pentru cititorul obișnuit. LA acest caz vorbim despre competenţele profesionale dobândite în procesul de activitate.

Foarte multe impresii vizuale eronate se datorează faptului că noi percepem figurile și părțile lor nu separat, ci întotdeauna într-o anumită relație cu alte figuri din jurul lor, un fundal sau un decor. Cele mai multe legate de asta un numar mare de iluzii vizuale întâlnite în practică. Toate pot fi împărțite în cinci grupe.

In primul rand, comparând două figuri, dintre care una este reală mai mică decât cealaltă, percepem în mod eronat toate părțile figurii mai mici ca fiind mai mici și toate părțile figurii mari ca fiind mari („întregul este mai mare - mai mult și părțile sale”). Acest lucru se datoreaza aspect psihologic percepţie.

În celelalte două desene, figurile din dreapta sunt mai mari decât figurile din stânga (figurele în ansamblu), dar părțile cu litere ale acestor figuri sunt egale cu părțile cu litere ale figurilor din stânga, deși par a fi mult mai mari. Acest lucru se întâmplă deoarece transferăm în mod greșit proprietățile figurii în părțile sale.

https://pandia.ru/text/78/016/images/image011_75.gif" width="564" height="128 src=">

În al treilea rând, se cunosc iluziile, a căror cauză constă în asimilarea (asimilarea) unei părți a figurii cu alta. În figură, o linie dreaptă, tangentă la toate cercurile cu raze diferite, pare a fi o curbă, deoarece o asemănăm fără să vrea cu limita superioară curbilinie. (Iluzie de S. Thompson).

https://pandia.ru/text/78/016/images/image013_37.jpg" alt="(!LANG:parall3.gif" align="left" width="280" height="131 src=">Аксиома" href="/text/category/aksioma/" rel="bookmark">аксиомами , теоремами, доказывать! Большая часть обманов зрения зависит исключительно от того, что мы не только видим, но и бессознательно рассуждаем, причём невольно вводим себя в заблуждение. Это – обманы суждения, а не чувств.!}

2.7. Utilizarea iluziilor vizuale în viața umană

Ø iluzii optice pe drum.

https://pandia.ru/text/78/016/images/image016_30.jpg" align="left" width="136" height="160 src=">

Femeia din dreapta pare mai zveltă.

Uneori se întâmplă ca spațiul costumului plin de decor și detalii să pară mai mare decât spațiul gol egal cu acesta.

https://pandia.ru/text/78/016/images/image018_53.gif" align="left" width="311" height="208"> Modalități de a schimba optic spațiul unei camere.

Dungi verticale: lungiți peretele, făcând camera să pară mai înaltă. Cu cât benzile sunt mai largi, cu atât efectul este mai puternic.

Dungile transversale împing pereții, iar camera este coborâtă.

inexistentă". O configuraţie inconsistentă vizual creează un conflict de nerezolvat între forma reală şi forma vizibilă.

Dacă în natură vedem frumusețe chiar și acolo unde domnește haosul și nu există ritm, atunci arta op, ca o persoană care încearcă să transforme natura, caută frumusețea și expresivitatea într-un mod clar, dar dificil pentru percepția noastră. model geometric, aducând haosul simțului nostru de formă și spațiu și obținând astfel un anumit efect. Percepția noastră tinde să se organizeze vizibil pentru ochi imaginea de pete colorate împrăștiate aleatoriu într-un sistem simplu, op art, dimpotrivă, folosind strict constructii geometrice, distruge integritatea percepției (vezi anexa 4).

Ø Desene 3D pe asfalt. Artă stradală pe asfalt.

Imaginați-vă: vă plimbați prin oraș și deodată îți apare o crăpătură în fața ochilor, din care nenorocii încearcă să scape! Sau deodată observați un măr complet obișnuit pe trotuar, dar nu îl puteți atinge - este vopsit! Când te uiți pentru prima dată la imagini tridimensionale de pe trotuar, nu-ți vine să crezi că este de fapt doar un desen. Acest fel arta stradala numită Street Painting (în engleză) sau Madonnari (în italiană). De fapt, artă Modernă Pictura de stradă (sau Madonnari) își are originea în secolul al XVI-lea când artiști stradali la sărbătorile religioase din apropierea bisericilor și templelor au fost reprezentate imagini cu scene biblice. Dintre imagini a dominat cel mai adesea imaginea cu Maica Domnului (Madona).

Pentru a crea o imagine tridimensională pe asfalt, artiștii folosesc o distorsiune specială, în timp ce imaginea pare tridimensională când este privită dintr-un anumit punct. O pictură durează aproximativ trei zile.

Arta folosește în mod activ capacitatea viziunii de a se autoînșela în propriile sale scopuri. Tehnicile de perspectivă sau de reproducere a efectului de volum într-un desen plat au fost deja denumite. În termeni noi, acest efect poate fi numit „efectul de volum virtual”. Se pare că viziunea noastră este capabilă să perceapă tablouri tridimensionaleși le percepe ca reale, când de fapt este doar o iluzie. (vezi anexa 5).

Imaginea - iluzia „Cascadei care clocotește” pe trotuar ajută la transferul mental de la căldura radiantă în locul unde există apă și răcoare. Secretul principal imagini de imagini volumetrice, acestea trebuie să fie „întinse”. Aceasta este priceperea interpretului. Dacă se aplică la proporții normale, atunci un astfel de efect nu poate fi atins. Și este nevoie de câteva ore pentru a crea.

III. Partea de cercetare

Lucrări de cercetare pentru a identifica și explica iluziile și dovezile lor.

În dreapta, mulți dintre voi aveți o întrebare: de ce să pierdeți timpul demonstrând ceva care este deja clar?

Și de fapt, de ce să demonstrăm că unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt egale între ele? Sau că suma numerelor pare trebuie să fie pară?

La urma urmei, egalitatea unghiurilor poate fi văzută din desen și, indiferent de câte ori adăugați numere pare, obțineți întotdeauna o sumă pară ... Poate că este adevărat că doar profesorii de matematică au nevoie de dovezi?

Cu toate acestea, de-a lungul multor secole de dezvoltare a științei și artei, s-au acumulat multe exemple care arată că nu trebuie întotdeauna să aveți încredere în ceea ce vedeți, mai ales la prima impresie. Ceea ce pare a fi la fel se poate dovedi a fi diferit, iar ceea ce la început părea diferit se va dovedi a fi același.

1. Comparați dimensiunile.

1.1 Luați în considerare iluzia lui Baldwin despre distorsiunea percepției dimensiunii

În exemplele date, segmentele sunt, de asemenea, egale între ele.

1.2 Le-am cerut elevilor școlii să deseneze linii verticale și orizontale de aceeași lungime, iar în majoritatea cazurilor liniile verticale trasate erau mai scurte decât cele orizontale.

Liniile paralele verticale, cu lungimea lor considerabilă, apar de obicei ușor divergente în partea superioară, în timp ce cele orizontale converg.

2. Reprezentarea dimensiunilor figurilor (reevaluarea liniilor verticale)

https://pandia.ru/text/78/016/images/image024_46.gif" alt="(!LANG:D:\Svetlana\Illusion\New" align="left" width="212" height="137 src=">!} 2.2 Iluzia cafenelei

Liniile din această imagine sunt, de asemenea, paralele.

2.3. Iluzia lui Wertheimer-Koffka. https://pandia.ru/text/78/016/images/image026_14.jpg" alt="(!LANG:circlet.gif (826 bytes)" align="left hspace=12" width="272" height="163">!} 2.4 Iluzia Ebbinghaus (1902).

Care cerc este mai mare? Cel care este înconjurat de cercuri mici
sau cel care este inconjurat de mari?

https://pandia.ru/text/78/016/images/image028_11.jpg" alt="(!LANG:Descriere:" align="left" width="164" height="163">!} 2.6 Luați în considerare o figură formată din romburi și triunghiuri. Este adevărat că lățimea este mai mică decât înălțimea?

Concluzie: Cu toate acestea, ele sunt aceleași, iar dacă conectăm vârfurile colțurilor ascuțite, obținem un pătrat.

2.7 Să comparăm dimensiunile relative ale mai multor obiecte din câmpul vizual.

Dacă obiectele sunt la aceeași distanță de ochi și sunt suficient de aproape unul de celălalt, este ușor să le comparați. În acest caz, rareori greșim în evaluarea noastră: un obiect mai înalt este văzut într-un unghi mai mare și, prin urmare, pare mai înalt.

Să complicăm sarcina. Vom plasa obiecte la distanțe diferite de ochi, inclusiv obiecte de diferite dimensiuni. Apoi dimensiunile lor vizibile par să fie aceleași.

https://pandia.ru/text/78/016/images/image031_10.jpg" width="293" height="144">.jpg" align="left" width="276 height=141" height=" 141">

3. Iluzia perspectivei

Acesta este un mod de a descrie obiecte în spațiu, în concordanță cu caracteristicile viziunii umane.

3.1 Iluzia Ponzo- ilustrează și distorsiuni în percepția dimensiunii. Care linie albastră sau roșie este mai lungă?

În 1913, Mario Ponzo a arătat că creierul nostru determină uneori dimensiunea unui obiect pe baza fundalului din spatele lui.

Liniile trasate în fotografiile următoare sunt de aceeași lungime, paralele și echidistante unele de altele.

Cu toate acestea, liniile cele mai apropiate de noi par mai scurte decât cele îndepărtate.

3.2 Luați în considerare două linii paralele (tramvai sau cale ferată) care fug de noi. Ele par să convergă la un moment dat la orizont. În același timp, punctul în sine ni se pare infinit de îndepărtat și inaccesibil. Viziunea pare să încerce să ne convingă că, contrar legilor geometriei, liniile paralele se intersectează.

Dovada: această iluzie se explică prin trăsătura percepției vizuale discutată mai sus. Un obiect (dormitor), situat la distanțe diferite față de observator, este vizibil din diferite unghiuri de vedere și, pe măsură ce se îndepărtează de-a lungul liniilor paralele (șine), dimensiunea sa unghiulară scade, ceea ce duce la o scădere vizibilă a distanței dintre linii (în acest caz, este determinată de dimensiunea traversei). Evident, atunci când unghiul de vizibilitate atinge o anumită valoare „critică”, ochiul încetează să distingă obiectul care se retrage ca un corp cu dimensiuni, iar liniile „contopesc” într-un singur punct pentru acesta.

Concluzie: există o valoare limită a unghiului de vedere - cea mai mică valoare la care ochiul poate vedea două puncte separat .

3.3 Uită-te la mașini. Care este mai mare?

https://pandia.ru/text/78/016/images/image040_26.gif" align="left hspace=12" width="217" height="227">

Cel mai interesant lucru este că atât paralelipipedele cât și aceste trei mașini sunt la fel !!!

Datorită semnelor de perspectivă, caseta potrivită pare să fie mai îndepărtată decât celelalte. Deoarece semnul depărtării „declanșează mecanismul” percepției constante a valorii, observatorului i se pare că paralelipipedul drept este mai mare decât celelalte, deși sunt identice.

Concluzie: dacă două obiecte ale căror imagini de pe retină sunt egale ca mărime apar observatorului la distanțe diferite de el, cel care pare mai îndepărtat va apărea întotdeauna mai mare ca dimensiune. Această relație se numește ipoteza distanței aparente.

4. Volume înșelătoare.

imagini plate corpuri spațiale, desigur, conțin întotdeauna o anumită convenție: sunt doar niște figuri plate care ne ajută să ne imaginăm locația corpului în spațiu.

În acest caz, uneori se dovedește că corpuri diferite pot avea aceeași imagine plată. Și atunci nu ne putem decide în niciun fel: ce vedem în fața noastră?

4.1 Cea mai simplă imagine este formată dintr-un romb cu o diagonală scurtă desenată în el. Dacă umbrim o jumătate din ea, putem vedea fie o imagine a unei piramide, fie o imagine a unei găuri dreptunghiulare în podea.

4.2. Luați în considerare imaginea de sus în jos, putem vedea un cub în care două fețe adiacente sunt continuate în jos, iar dacă ochiul se mișcă de jos în sus, putem vedea același cub, în ​​care două fețe sunt continuate în sus.

4.3 Luați în considerare un cub. Ni se pare că fața albastră a cubului este

in fata sau in spate? Și așa trebuie să arăți.

Uneori pare că în față, iar uneori - în spate.

https://pandia.ru/text/78/016/images/image045_8.jpg" alt="(!LANG:Descriere:" align="left" width="171" height="171 src=">На левом мы можем видеть большой куб, из которого в углу вырезан маленький кубик, помещенный в углу то ли комнаты, то ли коробки. А теперь сосчитайте кубики на правом рисунке. Иногда у вас получиться 7 (с черными гранями, обращенными к нам), а иногда – 6 (с черными гранями сверху).!}

5. „Obiecte imposibile”

Trebuie să fi întâlnit aceste cuvinte înainte. Și ce înseamnă ele? Însuși cuvântul un obiectînseamnă un fel de obiect care poate fi considerat, atins, studiat. Cum să nu existe?

Desen" href="/text/category/cherchenie/" rel="bookmark">Desenul nu a fost conectat corect cu elementele corecte .

Toate cele trei figuri de mai jos sunt alcătuite din părți foarte simple, bine existente. Dar aceste părți sunt interconectate într-un mod plauzibil, dar complet imposibil.

https://pandia.ru/text/78/016/images/image050_2.jpg" alt="(!LANG:Descriere:" align="left" width="200" height="102 src=">С этой фигурой мы входим с самую сердцевину и суть «невозможного». Может быть, это самый многочисленный класс невозможных объектов.!}

Acest obiect notoriu imposibil cu trei (sau două?) a devenit popular printre inginerii și pasionații de puzzle-uri în 1964. Prima publicație dedicată figurii neobișnuite a apărut în decembrie 1964. Autorul a numit-o „Un parantez format din trei elemente”. Perceperea și rezolvarea (dacă este posibil) incongruențe în acest nou tip de figură ambiguă necesită o schimbare reală a fixării vizuale. Din punct de vedere practic, acest trident ciudat sau mecanism sub formă de suport este absolut inaplicabil. Unii o numesc pur și simplu „o greșeală nefericită”. Unul dintre reprezentanții industriei aerospațiale a sugerat utilizarea proprietăților sale în proiectarea unui diapazon spațial interdimensional.

6. Aveți încredere, dar verificați!

Toate exemplele de mai sus v-au convins că prima impresie a unei imagini poate fi înșelătoare. Și, prin urmare, nu vă grăbiți să spuneți: „Ei bine, acest lucru este clar vizibil din imagine!”, Este foarte posibil ca unul să vadă un lucru, iar celălalt să vadă ceva complet diferit.

Și se întâmplă ca ceea ce este desenat să nu se întâmple deloc!

Deci, înainte de a trage concluzii din figură, este util să ne gândim la asta.

https://pandia.ru/text/78/016/images/image052_25.gif" alt="(!LANG:Descriere:" align="left hspace=12 alt="latime="290" height="147">Отношения длин соответствующих сторон синего и красного треугольников не равны друг другу (2/3 и 5/8), поэтому эти треугольники не являются подобными, а значит, имеют разные углы при соответствующих вершинах. Назовём первую фигуру, являющуюся вогнутым четырёхугольником, и вторую фигуру, являющуюся вогнутым восьмиугольником, псевдотреугольниками. Если нижние стороны этих псевдотреугольников параллельны, то гипотенузы в обоих псевдотреугольниках 13×5 на самом деле являются ломаными линиями (на верхнем рисунке создаётся излом внутрь, а на нижнем - наружу). Если наложить верхнюю и нижнюю фигуры 13×5 друг на друга, то между их «гипотенузами» образуется параллелограмм, в котором и содержится «лишняя» площадь. На рисунке этот параллелограмм приведён в верных пропорциях. «Гипотенуза» на самом деле является ломаной линией.!}

Concluzie.

Materialul prezentat în lucrare extinde orizonturile studenților, completează cunoștințele teoretice și explică multe iluzii optice. Iluziile geometrice creează oportunități bogate pentru artiști, fotografi, designeri de modă. Cu toate acestea, inginerii și matematicienii trebuie să fie atenți la desene și să susțină „evident” cu calcule precise.

Am arătat că estimările noastre de ochi ale cantităților geometrice reale depind foarte puternic de natura și fundalul imaginii. Erorile rezultate din iluziile optice pot fi foarte mari.

Astfel, studiul nostru a arătat cât de largă și multifațetă este activitatea umană, cât de diferite sunt cerințele pentru forma și conținutul imaginilor. Unele dintre ele ar trebui să producă asupra ochiului uman aceeași impresie pe care o produce obiectul însuși reprezentat, cu alte cuvinte, imaginea ar trebui să aibă suficientă vizibilitate. Într-un alt caz, imaginea ar trebui să fie, în primul rând, echivalentă geometric cu originalul, ar trebui să ofere o descriere completă geometrică și dimensională a obiectului reprezentat.

În procesul de lucru la subiectul „Nu vă credeți ochilor...” - iluzii geometrice, noi:

Ø a studiat materialul teoretic pe această temă;

Ø a trecut în revistă exemple de utilizare a iluziilor geometrice.

Ø Au efectuat cercetări legate de iluziile optico-geometrice și vizuale, le-au explicat și dovedit din punct de vedere geometrie.

Și au ajuns la concluzia: în matematică, atunci când rezolvi probleme, nu te poți baza doar pe un desen, trebuie să-ți confirmi toate afirmațiile cu proprietăți, axiome, teoreme.

Astfel, ipoteza studiului nostru a fost confirmată.

Bibliografie

1. S. Tolansky, „Iluzii optice”. - M.: Mir, 1967. - S. 128.

2. O. Ruthersward , „Cifre imposibile”. - M.: Stroyizdat, 1990.

3. P. Demin, „Experimente fizice și iluzii psihologice”. - M., 2006.

4. H. Schiffman, Feeling and Perception. - Sankt Petersburg, 2003.

5., „Iluziile vederii”, ed. 3 - M., Nauka, 1969

6., „Fizica distractivă”. - M., AST, 2010

7. O. Rutersvärd, Figuri imposibile. - M., Stroyizdat, 1990.

opt.," geometrie descriptivă", M.1963

9., „Perspectivă în geometrie și pictură”, M 1998

10., „Matematică vie”, M. 2006

11. R. L Gregory, „Reasonable Eyes”, M. 2003

12., „Geometrie și Marsilieza”, M. 1986

13. Enciclopedie electronică mare a lui Cyril și Methodius Kagirov

14. N. M. Karpunina, „Matematică neașteptată”, M. 2003

15. E. Rubin, „Obiecte și imagini”, enciclopedie pentru copii 2000

16.P Francesca, „Despre perspectiva picturală”, Enciclopedia 2000

17. Enciclopedia pentru copii la matematică „Cunosc lumea”

18. I. Ya Depman, În spatele paginilor unui manual de matematică. M-1988

19. Nu-ți crede ochilor//Kvant-1970.-№10-S. 18-20.

Resurse de internet.

http://www. iluzie. /main/index/index. php - Iluzii și fenomene vizuale

http://www. *****/2004/6/evident. shtml - Iluzii de percepție vizuală. Evident este incredibilul. Jurnalul „În lumea științei”, iunie 2004 Nr. 6

http://www. *****/carte/gregory. htm - „Ochiul inteligent”

  • Iluzii de mișcare
  • Percepția dimensiunii

    • Multe iluzii sunt explicate prin structura ochiului uman și a acestuia handicapat. Atât de multe accidente rutiere se întâmplă la amurg la intersecțiile în care se agăță semafoare, când se reglează funcționarea aparatului vizual sau noaptea, când șoferii confundă lumina unui semafor cu lumina unei lămpi obișnuite.

    Alegând modelul potrivit pe tapet, putem extinde vizual o cameră mică. Alegând culoarea potrivită a țesăturii, puteți ascunde defectele siluetei dvs. Deși o iluzie vizuală nu este întotdeauna un joc de lumini și umbre sau o percepție naturală a unui obiect dat.

    Există multe puzzle-uri optice special concepute care creează efecte uimitoare!

    distorsiuni vizuale

    Iluziile conduc adesea la estimări cantitative complet incorecte ale mărimilor geometrice reale. Conform teoriei dimensiunii relative, dimensiunea percepută depinde nu numai de mărimea retinei, ci și de dimensiunile altor obiecte din câmpul vizual pe care le observăm simultan.

    Iluzia Hering (iluzia ventilatorului)

    Liniile sunt de fapt paralele.

    Iluzia lui Wundt (1896)

    Liniile din centru sunt de fapt paralele.

    Iluzie de cafenea „Perete”.

    Liniile orizontale sunt paralele?

    Liniile roșii sunt drepte, deși par curbate.

    iluzia Perelman

    Literele sunt de fapt paralele între ele

    Iluzia lui W. Ehrenstein (W. Ehrenstein, 1921)

    Pătratele albastre par a fi desenate inegal

    Modelul se curbează spre interior?

    Toate pătratele nu sunt cu adevărat distorsionate.

    Iluzia J. Fraser (Fraser, 1908)

    Cercuri sau spirale?

    Privește în centru punctul negru - petele colorate ar trebui să dispară:

    Privește fără să ridice privirea spre cruce. Ai văzut pete verzi? Dar nu este nimic verde aici.

    Iluzie optica!

    Iluzii cu negative alb-negru

    Scull

    Această veche iluzie este familiară multora. Privește crucea neagră din orbită a craniului timp de aproximativ jumătate de minut. Apoi, priviți o foaie de hârtie ușoară, un perete ușor, un tavan și veți vedea un craniu alb cu scufundări întunecate în locul ochilor, nasului, gurii. Cu cât suprafața este mai departe de tine, cu atât dimensiune mai mare craniul vei observa.

    lampă aprinsă

    La fel ca și cu craniul. Timp de treizeci de secunde, examinează cu atenție lampa neagră din centru, apoi privește peretele alb și lampa se va aprinde.

    Regina Elisabeta a II-a a Angliei

    La fel ca cu pozele anterioare. Privește în centrul imaginii timp de treizeci de secunde și apoi la o suprafață albă. Imaginea va „apărea”.

    Iluzii cu negative color

    steagul american

    Din nou, ne uităm cu atenție la punctul din centrul imaginii timp de treizeci de secunde, apoi la suprafața albă și găsim acolo steagul american în culoarea corectă.

    Steagul Braziliei

    Steagul Malaeziei

    Steagul Franței

    Steagul Canadei

    Steagul Indiei

    Steagul Italiei

    Steagul Marii Britanii

    Iluzii de mișcare

    Privește imaginile statice și vor începe să se miște. Priviți aceleași bile în mișcare și veți vedea că sunt de dimensiuni diferite. Aceeași imagine rotativă se poate roti înăuntru laturi diferite, sau chiar să facă mișcări oscilatorii.

    iluzie fractală

    Există o iluzie că tiparul pulsa

    Se rotesc cercurile?

    Iluzia boabelor de cafea

    Percepția dimensiunii

    Iluziile conduc adesea la estimări cantitative complet incorecte ale mărimilor geometrice reale. Se pare că cineva poate greși cu 25% sau mai mult dacă estimările oculare nu sunt verificate cu o riglă. Estimările oculare ale cantităților geometrice reale depind foarte mult de natura fundalului imaginii. Acest lucru se aplică lungimii (iluzie Ponzo), zonelor, razelor de curbură. De asemenea, se poate arăta că ceea ce s-a spus este adevărat pentru unghiuri, forme și așa mai departe.

    Cititorului i se oferă o carte scrisă de remarcabilul popularizator al științei Ya. I. Perelman și dedicată iluziilor optice. Cartea conține o selecție a principalelor tipuri de iluzii sau, așa cum le numește autorul, înșelăciuni vizuale, care pot fi observate în condiții de viziune naturală, fără nicio adaptare. Autorul a preferat să se limiteze la demonstrarea materialului incontestabil al faptelor, abținându-se să explice motivele acestora, cu excepția iluziilor asociate portretelor, pentru care se dă o explicație la sfârșitul cărții. Cartea este destinată o gamă largă cititorilor, deoarece iluziile optice sunt de interes nu numai pentru fizicieni, fiziologi, medici, psihologi, filozofi, artiști, ci și pentru orice minte curios.

    Editor: „LKI” (2015)

    Format: Soft lucios, 128 pagini.

    ISBN: 9785382015545

    Perelman Ya.

    Yakov Perelman
    Nume la nastere:

    Iakov Isidorovici Perelman
    Data nașterii:
    Locul nașterii:
    Data mortii:
    Un loc al morții:
    Cetățenie:
    Ocupaţie:
    Gen:
    Debut:

    eseu „Cu privire la ploaia de foc așteptată”

    Iakov Isidorovici Perelman(, -,) - rus, om de știință, popularizator și, unul dintre fondatorii genului și fondatorul, autorul conceptului sci-fi.

    Biografie

    Yakov Isidorovich Perelman s-a născut la 4 decembrie (22 noiembrie, stil vechi) 1882 în orașul provinciei Grodno (acum Bialystok face parte). Tatăl său a lucrat ca contabil, mama lui a predat la scoala primara. Fratele lui Yakov Perelman, Osip Isidorovici, a fost prozator și a scris în rusă și în (pseudonim Osip Dymov).

    1916 - a fost publicată a doua parte a cărții „Fizica distractivă”.

    Bibliografie

    Bibliografia lui Perelman cuprinde peste 1000 de articole și note publicate de el în diverse publicații. Și aceasta se adaugă la 47 de științe populare, 40 de cărți educaționale, 18 manuale școlare și materiale didactice.

    Potrivit Camerei de Carte a Întregii Uniri, de la an la an cărțile sale au fost publicate de 449 de ori numai la noi în țară; lor circulatie totala s-a ridicat la peste 13 milioane de exemplare. Au fost tipărite:

    • în rusă de 287 de ori (12,1 milioane de exemplare);
    • în 21 de limbi ale popoarelor URSS - de 126 de ori (935 de mii de exemplare).

    Conform calculelor bibliofilului moscovit Yu. P. Iroshnikov, cărțile lui Ya. I. Perelman au fost publicate de 126 de ori în 18 țări străine in limbi:

    • germană - de 15 ori;
    • franceza - 5;
    • poloneză - 7;
    • engleză - 18;
    • bulgară - 9;
    • cehă - 3;
    • albaneză - 2;
    • Hindi - 1;
    • maghiară - 8;
    • greacă modernă - 1;
    • română - 6;
    • spaniolă - 19;
    • portugheză - 4;
    • italiană - 1;
    • finlandeză - 4;
    • în limbi orientale - 7;
    • alte limbi - de 6 ori.

    Cărți

    • ABC al sistemului metric. L., Editura științifică, 1925
    • Cont rapid. L., 1941
    • Până la distanțele lumii (despre zboruri interplanetare). M., Editura Osoaviakhim a URSS, 1930
    • Sarcini distractive. Pg., Editura A. S. Suvorin, 1914.
    • Seri de știință distractivă. Întrebări, sarcini, experimente, observații din domeniul astronomiei, meteorologiei, fizicii, matematicii (coautor cu V. I. Pryanishnikov). L., Lenoblono, 1936.
    • Calcule cu numere aproximative. M., APN URSS, 1950.
    • Foaia de ziar. experimente electrice. M. - L., Curcubeu, 1925.
    • Geometria și începuturile trigonometriei. Un scurt manual și o colecție de sarcini pentru autoeducație. L., Sevzappromburo al Consiliului Economic Suprem, 1926.
    • lumi îndepărtate. Eseuri astronomice. Pg., Editura P. P. Soikin, 1914.
    • Pentru tinerii matematicieni. Prima sută de puzzle-uri. L., Începuturile cunoașterii, 1925.
    • Pentru tinerii matematicieni. A doua sută de puzzle-uri. L., Începuturile cunoașterii, 1925.
    • Pentru tinerii fizicieni. Experiențe și divertisment. Pg., Începuturile cunoașterii, 1924.
    • Geometrie vie. Teorie și sarcini. Harkov - Kiev, Unizdat, 1930.
    • Matematică vie. Povești și puzzle-uri matematice. M.-L., PTI, 1934
    • Ghicitori în curiozități în lumea numerelor. Pg., Știință și școală, 1923.
    • Algebră distractivă. L., Time, 1933.
    • Aritmetică distractivă. Ghicitori și curiozități în lumea numerelor. L., Time, 1926.
    • Astronomie distractivă. L., Time, 1929.
    • Geometrie distractivă. L., Time, 1925.
    • Geometrie distractivă în aer liber și acasă. L., Time, 1925.
    • Matematică distractivă. L., Time, 1927.
    • Matematică distractivă în povești. L., Time, 1929.
    • Mecanici distractive. L., Time, 1930.
    • Fizica distractivă. Carte. 1 Sankt Petersburg, Editura P. P. Soikin, 1913.
    • Fizica distractivă. Carte. 2. Pg., Editura P. P. Soikin, 1916 (până în 1981 - 21 ediții).
    • Sarcini distractive. L., Time, 1928.
    • Sarcini și experiențe distractive. M., Detgiz, 1959.
    • Stii fizica? (Testul fizic pentru tineri). M. - L., GIZ, 1934.
    • Spre stele pe o rachetă. Harkov, Ukr. muncitor, 1934.
    • Cum să rezolvi problemele de fizică. M. - L., ONTI, 1931.
    • Matematică în aer liber. L., Şcoala Politehnică, 1931.
    • Matematică la fiecare pas. carte pentru lectura extracurriculara scoli FZS. M. - L., Uchpedgiz, 1931.
    • Între asta și apoi. Experiențe și divertisment pentru copiii mai mari. M. - L., Curcubeu, 1925.
    • Călătoriile interplanetare. Zboruri către spațiul mondial și realizare corpuri cerești. Pg., Editura P. P. Soikin, 1915 (10).
    • Sistem metric. Manual de zi cu zi. Pg., Editura științifică, 1923.
    • Știința la îndemâna ta. L., Tânăra Garda, 1935.
    • Sarcini științifice și divertisment (puzzle-uri, experimente, cursuri). M. - L., Gardă tânără, 1927.
    • Nu-ți crede ochilor! L., Surf, 1925.
    • Măsuri noi și vechi. Măsuri metrice în viața de zi cu zi, avantajele lor. Cele mai simple metode de traducere în rusă. Pg., Ed. revista „În atelierul naturii”, 1920.
    • Noua carte de probleme pentru curs scurt geometrie. M. - L., GIZ, 1922.
    • Noua carte de probleme de geometrie. Pg., GIZ, 1923.
    • Iluzii optice. Pg., Editura științifică, 1924.
    • Zbor spre lună. Proiecte moderne zboruri interplanetare. L., Semănător, 1925.
    • Promovarea sistemului metric. Ghid metodologic pentru lectori și profesori. L., Editura științifică, 1925.
    • Călătorind pe planetă (Fizica planetelor). Pg., Editura A. F. Marx, 1919.
    • Distracție cu chibrituri. L., Surf, 1926.
    • Rachetă spre lună. M. - L., GIZ, 1930.
    • Fizica Tehnica. Ghid de autostudiu și colecție exercitii practice. L., Sevzappromburo al Consiliului Suprem Economic, 1927.
    • Figurine puzzle din 7 piese. M. - L., Curcubeu, 1927.
    • Fizica la fiecare pas. M., Tânăra Garda, 1933.
    • Cititor fizic. Un manual de fizică și o carte de citit.
      • Problema. I. Mecanica. Pg., Semănător, 1922;
      • problema II. Căldura, Pg., Semănător, 1923;
      • problema III. Sunet. L., GIZ, 1925;
      • problema IV. Ușoară. L., GIZ, 1925.
    • Focalizări și divertisment. Miracolul epocii noastre. Numere uriașe. Între asta și apoi. L., Curcubeul, 1927.
    • Carte cu probleme cititor în matematică elementară (pentru scoli de muncași autoeducația adulților). L., GIZ, 1924.
    • Ciolkovski. Viața lui, invențiile și lucrări științifice. Cu ocazia împlinirii a 75 de ani de la naștere. M. - L., GTTI, 1932.
    • Tsiolkovsky K. E. Viața și ideile sale tehnice. M. - L., ONTI, 1935.
    • Numere uriașe. M. - L., Curcubeu, 1925.
    • Miracolul epocii noastre. M. - L., Curcubeu, 1925.
    • Tânăr inspector. L., Surf, 1926.
    • Cutie cu ghicitori și trucuri. M. - L., GPZ, 1929.