Ложный вывод монте - карло или ошибка игрока. Парадоксы формальной логики и логические ошибки
gambler"s fallacy) О. и., или ложный вывод Монте-Карло, отражает распространенное неправильное понимание случайности событий. Предположим, что монета подбрасывается много раз подряд. Если выпадает подряд 10 "орлов" и если эта монета яв-ся "правильной", для большинства людей выглядело бы интуитивно очевидным, что выпадение "решки" запаздывает. Однако такой вывод является ложным. Эту ошибка получила в специальной литературе название "отрицательный эффект новизны" (negative recency effect) и состоит в тенденции к предсказанию скорого прекращения часто происходившего в последнее время события. Она основана на вере в локальную репрезентативность (т. е. на уверенности в том, что последовательность случайно возникающих событий будет носить характеристики случайного процесса даже когда она оказывается короткой). Т. о., в соответствии с этим ошибочным представлением, генератор случайных событий, напр., подбрасывание монеты, должен приводить к исходам, в к-рых - даже по прошествии короткого времени - не будет наблюдаться значительного преобладания того или другого из возможных исходов. Если выпадает серия одинаковых исходов, возникает ожидание того, что случайная последовательность скорректирует себя сама в ближайшем будущем, и отклонение в одном направлении тем самым подвергнется обязательному уравновешению отклонением в другом. Однако случайно генерируемые последовательности, в особенности если они оказываются сравнительно короткими, оказываются совершенно нерепрезентативными производящему их случайному процессу. Ошибка игрока - это нечто большее, чем просто отражение обычного статистического невежества, поскольку она может наблюдаться в частной жизни даже искушенных в статистике людей. Она отражает два аспекта челов. когнитивной функции: а) сильную и неосознанную мотивацию людей к тому, чтобы находить порядок во всем, что они вокруг себя наблюдают, даже если наблюдаемая ими последовательность исходов возникает в результате случайного процесса, б) всеобщую челов. склонность игнорировать основанные на расчетах оценки вероятностей, отдавая предпочтение интуиции. Хотя логика может убеждать нас в том, что случайный процесс не контролирует своих исходов, наша интуитивная реакция может быть очень сильной и временами подавлять логику. Исследовавший сравнительную силу логического и интуитивного мышления Рид утверждает, что последнее зачастую оказывается более принудительным чем первое, вероятно, по той причине, что подобные умозаключения приходят на ум внезапно, следовательно, не поддаются логическому анализу и часто сопровождаются сильным ощущением своей правоты. В отличие от принципиальной невозможности отследить процесс, посредством к-рого находятся такие интуитивные "решения", процесс логического рассуждения открыт для анализа и критики. Поэтому люди управляют логическим мышлением, а от интуитивного мышления они просто получают результаты, к-рые наполняют последнее сильным ощущением чувства правоты. О. и. наиболее распространена в ситуации, когда исходы генерируются чисто случайно. Если в развитии событий участвует некоторый фактор мастерства, чаще наблюдается положительный эффект новизны (positive recency effect). Наблюдатель скорее всего будет рассматривать серию успехов (напр., игрока в бильярд) как свидетельство его мастерства, и будет выстраивать свои прогнозы последующих исходов скорее в положительном, чем в отрицательном направлении. Даже бросание костей может приводить к положительному эффекту новизны в той степени, в к-рой индивидуум убежден, что на исход события каким-то образом влияет "искусство" бросающего. См. также Эффект Барнума, Поведение игроков, Статистический вывод Дж. Элкок
Этот эпизод с умным миссионером является одной из перефразировок парадокса древнегреческих философов Протагора и Эватла.
Но с подобным парадоксом формальной логики сталкивался всякий исследователь, который пытался строго определить все понятия в своей теории. Этого никому еще не удавалось, так как все сводилось в конечном счете к тавталогии типа: "Движение - это перемещение тел в пространстве, а перемещение - это движение тел в пространстве"
Еще один вариант этого парадокса. Некто совершил преступление, караемое смертной казнью. На суде ему представляется последнее слово. Он должен произнести одно утверждение. Если оно окажется истинным, преступника утопят. Если же оно будет ложным, преступника повесят. Какое утверждение он должен высказать, чтобы привести судью в полное замешательство? Подумайте сами.
Озадаченный этим парадоксом, Протагор посвятил этому спору с Еватлом особое сочинение «Тяжба о плате». К сожалению, оно, как и большая часть написанного Протагором, не дошло до нас. Философ Протагор сразу почувствовавал, что за этим парадоксом скрывается сто-то сущностное, заслуживающее специального исследования.
Формальная логика основана на концепции дискретности мира, начало которой следует искать в учении Демокрита об атомах и пустоте, а может быть, и в более ранних философских учениях древней Греции. Мы не задумываемся о парадоксальности формальной логики, когда говорим, что скорость - это количество метров или километров, пройденных телом, которые оно проходит в секунду или в минуту (физика нас учит, что расстояние, деленное на время - это скорость). Расстояние мы измеряем дискретными единицами (метрами, километрами, верстами, аршинами и т.д.), время - тоже дискретными единицами (минуты, секунды, часы и т.д.). У нас есть эталон расстояния - метр, или иной отрезок, с которым мы сравниваем путь. Эталоном времени (по сути, тоже отрезком) мы измеряем время. Но ведь расстояние и время непрерывны. А если прерывны (дискретны), то что находится в стыках их дискретных частей? Потусторонний мир? Параллельный мир? Гипотезы о параллельных мирах неверны, т.к. основаны на рассуждениях по законам формальной логики, полагающей, что мир дискретен. Но если бы он был дискретен, то в нем было бы невозможно движение. А это значит, что все в таком мире было бы мертво.
Парадокс лжеца. «То, что я утверждаю сейчас - ложно», или «Данное высказывание - ложь». Этот парадокс сформулировал философ мегарской школы Евбулид. Он сказал: «Критянин Эпименид утверждал, что все критяне лжецы». Если Эпименид прав, что все критяне лжецы, то он тоже лжец. Если же Эпименид лжец, то он лжет, что все критяне лжецы. Так лжецы или не лжецы критяне? Ясно, что цепочка этих рассуждений ущербна, но в чем?. |
В науке это значит, что невозможно понять и объяснить систему, исходя из элементов только этой системы, свойств этих элементов и процессов, происходящих внутри этой системы. Для этого следует рассматривать систему как часть чего-то большего - внешней среды, системы большего порядка, частью которой является система, которую мы изучаем. Иначе: чтобы понять частное, надо подняться до более всеобщего.
Этот парадокс говорит о том, что для характеристики элементов системы элементами этой системы, требуется, чтобы количество элементов в этой системе было больше двух. Тезы и антитезы недостаточно, чтобы охарактеризовать какой-то элемент. Если высказывание не истинно, то из этого не следует, что оно ложно. И наоборот, если высказывание не ложно, то это не значит, что оно истинно. Нашему разуму нелегко согласиться с этим утверждением, ведь мы пользуемся формальной альтернативной логикой. А случай с высказываниями Платона и Сократа говорит о том, что это возможно. Посудите сами: нам говорят: "Шар в коробке не черный". Если мы подумаем, что он белый, то мы можем ошибиться, так как шар может оказаться синим, красным, или желтым.
В двух последних примерах мы видим, что парадоксы рождаются из ущербности формальной (двоичной) логики. Вдумаемся в то, как фраза должна быть построена правильно: "История учит человека, а он из истории ничему не учится". В такой формулировке, при таком уточнении никакой парадокс уже не содержится. Два последних парадокса не являются антиномиями, их можно устранить в рамках законов формальной логики, правильно построив фразу.
Парадокс из разряда антиномий - порожден ошибкой в рассуждениях, в построении фразы. Следующий парадокс также относится к антиномиям.
В этом случае надо вспомнить о том, что человек должен учиться размышлять, а не только запоминать. Учение как механическое запоминание большой ценности не имеет. Примерно 85-90% того, что человек запоминает, обучаясь в школе и вузе, он забывает в течение первых 3-5 лет. А вот если его научили размышлять, то этим умением он владеет практически всю жизнь. Но что будет с людьми, если им при обучении давать запоминать только те 10% информации, которую они запоминают надолго? К сожалению, такого эксперимента еще никто не ставил. Хотя...
Был в нашем селе один мужик, кторый закончил в начале 30-х только 4 класса школы. Но в 60-х он работал главным бухгалтером колхоза и с работой справлялся лучше, чем сменивший его потом бухгалтер со средним техническим образованием.
Но если корабль определить как систему, сущность которой определяется его свойствами как целого: весом, водоизмещением, скоростью, КПД и прочими характеристиками, то и при замене всех деталей аналогичными деталями корабль остается прежним. Свойства целого отличаются от свойств его частей и не сводятся к свойствам этих частей. Целое больше суммы его частей! Поэтому и в 50 лет человек остается самим собой, хотя 95% атомов его тела уже много раз за это время заменены другими, да и атомов в его теле становится больше, чем было в возрасте 10 лет.
Так что не совсем прав был древний философ, заявив, что нельзя дважды войти в одну и ту же реку, так как вода в ней течет и все время молекулы ее в потоке заменяются. В этом случае неявно постулируется, что река - это сумма именно этих молекул воды и никаких других молекул воды. Но ведь это не так, ведь мы реку воспринимаем не как набор молекул воды, а как поток определенной глубины и ширины, с определенной скоростью течения, одним словом, река - это динамическая система, а не сумма своих частей.
Часто ответ на вопрос об облысении лежит в иной плоскости, чем та, в которой его сформулировали. Чтобы ответить на такой вопрос, надо выйти из одной плоскости рассуждений и восприятия в совершенно иную. Например, публикации одного ученого цитируют 100 раз в год, а другого 1 раз в год. Вопрос: кто из них гениальный ученый? Разных ответов на этот вопрос может быть четыре: 1 - никто, 2 - оба, 3 - первый, 4 - второй. И все четыре ответа в данном случае равновероятны, так как количество цитирований в принципе не может быть признаком гениальности. Правильный ответ на этот вопрос можно плучить только через 100 лет или чуть меньше.
Парадокс демократии (голосования): "нельзя совместить все требования к избирательной системе в одной системе". Если выполнить равное представительство в парламенте от штатов или областей, то при этом невозможно выполнить равное представительство в парламенте от избирателей. А ведь еще есть религиозные конфессии и т.д. |
Но в политике даже формальная логика не в почете, а зачастую она нарушается намеренно, чтобы запудрить мозги электорату. В США технологии "пудрения мозгов" развиты просто превосходно. Выборы у них не демократические, а мажоритарные, но американцы свято верят в то, что у них демократическое государство и готовы порвать всякого, кто об их общественной системе думает иначе. Аристократическую форму управления государством они ухитряются выдать за демократическую. А возможна ли демократические выборы в принципе?
Но практически вывод Монте-Карло может быть ложным и по другой причине. Ведь условие о независимости элементарных событий при игре в рулетку может и не выполняться. А если элементарные события не независимы, а "сцеплены" друг с другом как известными нам, так и неизвестными пока способами... то в этом случае лучше ставить на черное, а не на красное.
Может оказаться, что во Вселенной есть и другие носители энергии и информации, а не только колебания электромагнитного поля и потоки элементарных частиц. Если в своей основе Вселенная не дискретна (вакуум), а сплошная, то этот парадокс неуместен. Тогда на каждую часть Вселенной оказывает влияние вся остальная ее часть, тогда каждый атом мироздания связан и взаимодействует со всеми остальными атомами, как бы далеко они от него не находились. А ведь в бесконечной Вселенной атомов должно быть бесконечное количество... Стоп! Опять начинают кипеть мозги.
Этот парадокс проистекает от нашего непонимания, что такое время. Если время - это поток мира со множеством протоков (как часто бывает у реки), а скорость течения в протоках разная, то щепочка, попавшая в быструю протоку, потом опять попадет в медленную, когда быстрая протока сольется с медленной, в которой плывет другая щепочка, с которой когда-то они плыли рядом. Но теперь одна щепочка окажется впереди своей "подруги" и с ней не уже встретится. Чтобы им встретиться, отставшая "подруга" должна попасть в другую быструю протоку, а опередившая - плыть в это время в медленной протоке. Получается, что брат близнец, улетевший на субсветовом корабле, в принципе не может вернуться в прошлое и встретиться со своим братом. Медленный поток времени (субсветовой корабль) задержал его в потоке времени. За это время его брат не просто стал старше, но он ушел в будущее, вместе с ним в будущее ушло все, что его окружало. Так что брат, отставший во времени, в будущее попасть уже не сможет в принципе.
А если река времени не имеет проток с разной скоростью, то и никакого парадокса быть не может. Может, теория относительности неверна, и время не относительно, а абсолютно?
И слава Богу! Поэтому дедушке не грозит, что его внук явится из будущего и убьет его. А таких внуков, накурившихся марихуаны, сегодня немало.
Недавно центральное бюро Китая по вопросам кино, радио и телевидения запретило показывать фильмы о путешествиях во времени, поскольку они «демонстрируют неуважение к истории». Кинокритик Раймонд Чжоу Лимин пояснил причины запрета тем, что сейчас путешествия во времени - популярная тема в сериалах и в кино, но смысл таких произведений, а также их подача весьма сомнительны. «Большинство из них полностью вымышлены, не соответствуют логике и не соответствуют историческим реалиям. Продюсеры и сценаристы слишком легкомысленно относятся к истории, искажают ее и навязывают этот образ зрителям, и это не стоит поощрять», - добавил он. Такие произведения не опираются на науку, а пользуются ею как предлогом для комментирования текущих событий.
Я считаю, что китайцы попали в самую точку, поняв вред таких фильмов. Морочить людей глупостями, выдавая их за научную фантастику, опасно. Дело в том, что подобные фильмы расшатывают у людей чувство реальности, границы реальности. А это верный путь к шизофрении.
Сальвадор Дали средствами живописи показал абсурдность наших представлений о времени. Текущие часы - это еще не время. А что же такое время? Если бы не было времени, то не было бы движения. А может, правильнее говорить так: если бы не было движения, то не было бы и времени?. А может, время и движение - это одно и то же? Нет, скорее с помощью категорий время и пространство мы пытаемся характеризовать и измерять движение. В этом случае время - это что-то вроде аршина малалана. Чтобы путешествовать во времени, надо перестать быть живыми (живущими) людьми и надо научиться двигаться внутри самого движения.
Времени нет, есть движение, а движение - это и есть время. Все парадоксы, связанные со временем, происходят от того, что времени приписываются свойства пространства. Но пространство - это скаляр, а время - вектор.
|
Вот так мы изменяемся во времени. Путешествие в прошлое возможно только с помощью просмотра старых фотографий и старых кино. Еще с помощью нашей памяти. Может быть, память как раз и есть то, что делает нас пятимерными сущностями? Наверное, память и есть единственно возможная машина времени, которая может умчать нас в прошлое. Надо только научиться все вспоминать. Фото с сайта: http://loveopium.ru/page/94 |
Ахиллес и черепаха: Быстроногий Ахиллес никогда не догонит неторопливую черепаху, если в начале движения черепаха находится впереди Ахиллеса, так как пока он переместится в точку, где была черепаха в начале состязания, она успеет продвинуться хоть немного вперёд. Пока Ахиллес добежит до точки, где находилась черепаха, она успеет переместиться на определенное расстояние вперед. Теперь Ахиллесу придется снова пробежать некоторое расстояние до места, где была черепаха, а она за это время снова переместится вперед, и так далее – количество точек приближения Ахиллеса к черепахе стремится к бесконечности. Получается, что Ахиллес никогда не догонит черепаху, но мы же понимаем, что в реальности он ее легко догонит и обгонит. Почему так происходит, из-за чего образовался этот парадокс? А дело в том, что расстояние - это не совокупность точек. Ведь точка не имеет размера и на любом геометрическом отрезке количество точек может равняться бесконечности. Чтобы побывать в бесконечном количестве точек, Ахиллесу потребуется бесконечное время. Поэтому получается, что дискретная математика и формальная логика к реальности неприменимы, а если и применимы, то с большими оговорками. |
Этот парадокс связан с тем, что формальная логика оперирует в дискретном мире с дискретными телами, состоящими из точек, и явлениями, которые тоже представляют совокупности точек в четырехмерном пространстве-времени. Этот парадокс не столь уж безобиден. Вот уже 2,5 тыс. лет он показывает ученым абсурдность формальной логики и ограниченность математики. Но ученые упрямо верят в формальную логику и математику и ничего не хотят менять. Хотя... Робкие попытки изменить логику предпринимались и в философии, и в математике. |
Ахиллес бежит за черепахой. В реальности он ее запросто догоняет, а вот в логической конструкции этого процесса он догнать ее не может. Черепаха имеет фору в 100 метров. Оба бегуна одновременно начинают движение. Пока Ахиллес добежит до точки А, черепаха переместится в точку В, ахиллес опять сократит расстояние между собой и черепахой и переместится в точку С. Но в это время черепаха переместится вперед и окажется впереди Ахиллеса в точке Д. Ахиллес снова сократит расстояние между собой и черепахой и окажется в точке Е. Но черепаха за это время опять уползет вперед и окажется в точке Ж. И так до бесконечности. Расстояние между Ахиллесом и черепахой будет сокращаться, но догнать ее он не сможет. Этот вывод следует из формальной логики. Рисунок с сайта: http://nebesa87.livejournal.com/ |
В математике попыткой вырваться из плена формальной логики было создание дифференциального и интегрального исчисления. И то и другое предполагает непрерывное изменение некоторой величины в зависимости от непрерывного же изменения другой величины. Столбчатые диаграммы изображают зависимость дискретных явлений и процессов, а графики (линии) - непрерывных процессов и явлений. Однако переход от диаграммы к графику есть некое таинство - что-то вроде святотатства. Ведь все экспериментальные данные (результаты конкретных измерений) дискретны. А исследователь вместо диаграммы берет и рисует график. Что это? Если подходить строго, то дело тут обстоит так: график - это трансформация диаграммы в график, который аппроксимирует эту диаграмму. Строя график в виде сплошной линии, мы совершаем переход из мира дискретных явлений и предметов в мир непрерывный. Это попытка вырваться за пределы формальной логики и тем самым избежать ее парадоксы.
В философии уже в XIX веке ученые осознали ущербность формальной логики, некоторые стали пытаться разрешить эту проблему. Дружно заговорили о диалектике, о триаде (Гегель), об иной теории познания. Философы раньше ученых поняли, что формальная логика заводит познание в тупик. Результатом внедрения диалектики в науку стало, например, учение об эволюции (развитии). Ведь если строго находиться на позициях формальной логики, то развитие невозможно в принципе. Преформизм - это жалкая попытка формальной логики объяснить происходящую всюду эволюцию. Преформисты утверждают, что все предначертано в некоторой программе в зародыше, и наблюдаемое развитие - это только реализация (развертывание) этой программы. Формальная генетика родилась из преформизма, но она смогла объяснить только развитие организма в онтогенезе. А вот изменение видов и макроэволюцию формальная генетика объяснить не смогла. Пришлось к той первоначальной формальной генетике пристраивать новое здание, которое на несколько порядков оказалось больше здания классической генетики, вплоть до отрицания дискретных генов. Но и в таком измененном виде генетика смогла объяснить только микроэволюцию, а макроэволюция ей оказалась не по зубам. А те попытки, которые генетики делают, чтобы объяснить макроэволюцию, дают парадоксы, подобные рассмотренным выше.
Но и сегодня позиции формальной логики очень прочны в умах ученых: биологов, биофизиков, генетиков, биохимиков. Диалектика с трудом пробивает себе дорогу в этой науке.
Куча песка состоит из 1 000 000 песчинок. Если забрать из нее одну песчинку, то это все равно будет куча песка. Если продолжить это действие много раз, то получится, что 2 песчинки, и даже одна песчинка – это тоже куча песка. На это можно возразить, что одна песчинка – это всего лишь одна песчинка, но в таком случае нарушается принцип взаимосвязанности утверждений, и мы снова приходим к парадоксу. Спасти эту ситуацию можно только в том случае, если ввести исключение для одной песчинки, которая не является кучей. Но две песчинки тоже трудно назвать кучей. Так с какого же количества песчинок начинается куча? |
В действительности так не случается, так как в мире не существует одинаковых вещей, явлений, пучков сена, равноценных видов казни. Если даже пучки сена одинаковые по вкусовым качествам и размеру, то один из них может быть чуть дальше другого, или один глаз осла может быть более зорким, чем другой и т.д. К сожалению, формальная логика этого не учитывает, поэтому применять ее следует осторожно и не во всех суждениях, не всегда ей доверять.
Люди в жизни и в своей деятельности (в том числе и в экономической) ведут себя совсем не как "идеальные" шары в теории. Кроме выгоды, люди стремятся к устойчивости и комфорту в широком смысле этого слова. Неизвестный риск может быть как меньше известного, так и больше его. Можно, конечно, выиграть больше и стать богаче. Но ведь можно и проиграть больше и стать банкротом. А деньги в рост отдают небедные люди, им есть чем дорожить, и оказаться в бомжах они не хотят.
Попробуем порассуждать. Логическая ошибка в данном случае состоит в том, что долг считается вместе с тем, что у нас имеется, что мы не теряли - с бутылкой пива. Действительно, я занял 100+50=150 рублей. Но я убавил свой долг, вернув 30 рублей подруге, после чего я стал должен ей 70 рублей и 50 рублей стал должен другу (70+50=120). Итого мой долг составил теперь 120 рублей. Но если я отдам бутылку пива стоимостью 20 рублей другу, то я останусь должен ему только 30 рублей. Вместе с долгом подруге (70 рублей) мой долг составит 100 рублей. Но ведь именно эту сумму я и потерял. |
В космофизике сегодня очень модной стала теория чёрных дыр. Согласно этой теории, огромные звезды, в которых "сгорает" термоядерное топливо, сжимаются - коллапсируют. При этом их плотность чудовищно возрастает - так, что электроны падают на ядра и внутриатомные пустоты схлопываются. Такая коллапсировавшая сверхплотная потухшая звезда обладает сильной гравитацией и поглощает вещество из космического пространства (как пылесос). При этом такая нейтронная звезда становится все плотнее и тяжелее. Наконец, ее гравитация становится такой мощной, что даже кванты света не могут покинуть ее. Так образуется чёрная дыра.
Этот парадокс позволяет усомниться в физической теории чёрных дыр. Может оказаться, что они не такие уж чёрные . Скорее всего, они обладают структурой и, следовательно, энергией и информацией. Мало того, чёрные дыры не могут вбирать в себя вещество и энергию бесконечно. В конце концов, "объевшись", они "лопаются" и выбрасывают из себя сгустки сверхплотного вещества, которое становится ядрами звезд и планет. Неслучайно чёрные дыры обнаружены в центрах галактик, а в этих центрах наблюдается самая высокая концентрация звезд, убегающих от этих центров.
Всякое противоречие в теоретических догматах науки должно побуждать ученых изменять (совершенствовать) теорию. Столь большое количество парадоксов в логике, математике, физике показывает, что далеко не все обстоит хорошо в этих науках с теоретическими построениями.
Но все идет нормально до тех пор, пока не случится кризис производства. А при кризисе производства в США исчезает дефицит платежного баланса. Капитала в банках скопилось много, а вложить его некуда. Капиталы живут только за счет оборота через производство. Как говорят: "Только в полете живут самолеты". А капиталы живут только в процессах производства и потребления. А без производства и потребления капиталы исчезают - превращаются в ничто (вчера был, а сегодня нету), от этого в США растет дефицит платежного баланса - подушки безопасности других стран в банках США бесследно исчезли. США, сделав доллар международной валютой, посадили себя на долларовую иглу. Мировой экономический кризис резко усугубляет ситуацию и здоровье у долларового "наркомана". Стремясь приобрести очередную "дозу", наркоман идет на все, он становится агрессивен.
Китай прекрасно развивается и при социализме. Вовсе не потому, что там мало частной собственности, а больше государственной. Просто китайцы цену на товары стали определять спросом на них. А такое возможно только в условиях рыночной экономики.
Но инфляция неизбежно приведет к потере капиталов - накоплений, которые хранит население в банках. Говорят, греки при евро жили не по средствам, бюджет Греции был с большим дефицитом. Но ведь получая эти деньги в виде зарплат и пособий, греки покупали товары, произведенные в Германии, Франции и тем самым стимулировали производство в этих странах. Стало схлопываться производство, выросло число безработных. Кризис усугубился и в странах, считавших себя донорами европейской экономики. Но экономика - это не только производство и его кредитование. Это еще и потребление. Игнорирование законов системы - причина этого парадокса.
Заключение
Заканчивая эту статью, хочу обратить внимание на то, что формальная логика и математика - науки не совершенные и, кичась своими доказательствами и строгостью своих теорем, зиждутся на аксиомах, принятых на веру как вполне очевидные вещи. Но так ли они очевидны эти аксиомы математики?
Что такое точка, не имеющая длины, ширины и тощины? И как так получается, что совокупность этих "бестелесных" точек, если они выстроены в ряд, является линией, а если одним слоем, то плоскостью? Мы берем бесконечное множество точек, не имеющих обьема, выстраиваем их в ряд, и получаем линию бесконечной длины. По-моему, это чушь какая-то.
Этот вопрос я еще в школе задавал учительнице математики. Она сердилась на меня и говорила: "какой же ты бестолковый! Ведь это очевидно." Тогда я спрашивал ее: "А сколько точек можно втиснуть в линию между двумя соседними точками, и можно ли это сделать?" Ведь если бесконечное множество точек приблизить вплотную друг к другу без расстояний между ними, то получится не линия, а точка. Чтобы получить линию или плоскость, надо точки располагать в ряд на некотором расстоянии друг к другу. Такую линию даже пунктирной не назовешь, ведь точки не имеют площади и объема. Они как бы есть, а как бы их вовсе нет, они нематериальны.
В школе я часто задумывался: а правильно ли мы ведем арифметические действия, например, сложение? В арифметике при сложении, 1+1 = 2. Но ведь это может быть и не всегда так. Если к одному яблоку прибавить еще одно яблоко, то получится 2 яблока. Но если на это посмотреть по-другому и считать не яблоки, а абстрактные множества, то сложив 2 множества, мы получим еще третье, состоящее из двух множеств. То есть в этом случае 1 + 1 = 3, а может быть 1+1=1 (два множества слились в одно).
А сколько будет 1+1+1? В обычной арифметике получается 3. А если учесть все комбинации из 3 элементов сначала по 2, а потом по 3? Правильно, в этом случае 1+1+1=6 (три сочетания по 1 элементу, два сочетания по 2 элемента и 1 сочетание по 3 элемента). Комбинаторная арифметика на первый взгляд кажется глупостью, но это так только с непривычки. В химии приходится считать сколько получится молекул воды, если взять 200 атомов водорода и 100 атомов кислорода. Получится 100 молекул воды. А если взять 300 атомов водорода и 100 атомов кислорода? Все равно получится 100 молекул воды и останется 100 атомов водорода. Итак, мы видим, что в химии находит себе применение иная арифметика. Подобные задачи имеют место и в экологии. Например, известно правило Либиха о том, что на растения оказывает влияние химический элемент в почве, который находится в минимуме. Даже если все другие элементы в большом количестве, растение сможет их усвоить столько, сколько позволяет элемент, находящийся в минимуме.
Математики кичатся своей якобы независимостью от реального мира, их мир - это мир абстрактный. Но если это так, то почему мы пользуемся десятеричной системой счета? А у каких-то племен была двадцатеричная система. Очень просто, те южные племена, которые не носили обуви, пользовались двадцатеричной системой - по числу пальцев на руках и на ногах, а вот те, кто жил на севере и носил обувь, при счете использовали только пальцы рук. Будь на руке у нас по три пальца, мы бы пользовались шестеричной системой. А вот если бы мы произошли от динозавров, то у нас было бы по три пальца на каждой руке. Вот вам и независимость математики от внешнего мира.
Порой мне кажется, что будь математика ближе к природе (реальности, опыту), будь она менее абстрактна, не считай себя царицей наук, а будь их слугой, она бы развивалась гораздо быстрее. А так получается, что нематематик Пирсон придумал математический критерий хи-квадрат, который с успехом используют при сравнениях рядов чисел (экспериментальных данных) в генетике, геологии, экономике. Если приглядеться к математике попристальнее, то оказывается, что все принципиально новое в нее вносили как раз физики, химики, биологи, геологи, а математики в лучшем случае это развивали - доказывали с позиций формальной логики.
Исследователи-нематематики постоянно вытаскивали математику из той ортодоксии, в которую ее старались погрузить "чистые" математики. Например, теорию сходства-различия создали не математики, а биологи, теорию информации - телеграфисты, теорию термодинамики - физики-теплотехники. Математики всегда пытались доказать теоремы с помощью формальной логики. Но некоторые теоремы с помощью формальной логики доказать, вероятно, в принципе невозможно.
Использованные источники информации
Математический парадокс. Адрес доступа: http://gadaika.ru/logic/matematicheskii-paradoks
Парадокс. Адрес доступа: http://ru.wikipedia.org/wiki/%CF%E0%F0%E0%E4%EE%EA%F1
Парадокс логический. Адрес доступа: http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_philosophy/
Парадоксы логики. Адрес доступа: http://free-math.ru/publ/zanimatelnaja_matematika/paradoksy_logiki/paradoksy_logiki/11-1-0-19
Храпко Р.И. Логические парадоксы в физике и математике. Адрес доступа:
Что такое парадокс? Парадоксом называются два несовместимых и противоположных утверждения, имеющие убедительные аргументы каждый в свою сторону. Наиболее ярко выраженной формой парадокса является антиномия – рассуждение, которое доказывает равносильность утверждений, одно из которых представляет собой явное отрицание другого. И особого внимания заслуживают именно парадоксы в наиболее точных и строгих науках, таких как, например, логика.
Логика, как известно, является абстрактной наукой. В ней нет места экспериментам и каким-либо конкретным фактам в обычном их понимании; она всегда предполагает анализ реального мышления. Но расхождения в теории логики и практике реального мышления всё же имеют место быть. И самым явным подтверждением этому служат логические парадоксы, а иногда даже логическая антиномия, олицетворяющая собой противоречивость самой логической теории. Именно это и объясняет значение логических парадоксов и то внимание, которое уделяется этим парадоксам в логической науке. Ниже мы познакомим вас с самыми яркими примерами логических парадоксов. Эта информации будет непременно интересна как тем, кто углублённо изучает логику, так и тем, кто просто любит узнавать новую и интересную информацию.
Начнём же мы с парадоксов, составленных древнегреческим философом Зеноном Элейским, жившим в V веке до н.э. Его парадоксы получили название «Апории Зенона» и даже имеют свою трактовку.
Апории Зенона
Апории Зенона являются внешне парадоксальными рассуждениями о движении и множестве. Всего современниками Зенона было упомянуто свыше 40 апорий (кстати, слово «апория» с древнегреческого языка переводится как «трудность») его авторства, однако до нашего времени дошли только девять из них. При желании вы можете ознакомиться с ними в трудах Аристотеля, Диогена Лаэртского, Платона, Фемистия, Филопона, Элия и Сипмликия. Мы же приведём в пример три самые известные.
Ахиллес и черепаха
Представим, что Ахиллес бежит со скоростью, в десять раз превышающей скорость черепахи, и находится от неё на расстоянии в тысячу шагов позади. Пока Ахиллес пробежит тысячу шагов, черепаха сделает только сто. Пока Ахиллес преодолеет ещё сотню, черепаха успеет сделать десять и т.д. И этот процесс будет продолжаться бесконечно долго и Ахиллес никогда не догонит черепаху.
Дихотомия
Для того чтобы преодолеть определённый путь, нужно изначально преодолеть его половину, а чтобы преодолеть половину, нужно преодолеть половину этой половины и т.д. Исходя из этого, движение никогда так и не начнётся.
Летящая стрела
Летящая стрела всегда остаётся на месте, т.к. в любой момент времени она находится в состоянии покоя, а поскольку она в состоянии покоя в любой момент времени, она находится в состоянии покоя всегда.
Здесь же будет уместно привести ещё один парадокс.
Парадокс лжеца
Авторство этого парадокса приписывается древнегреческому жрецу и провидцу Эпимениду. Парадокс звучит так: «То, что я в данный момент говорю — ложь», т.е. выходит: либо «Я лгу», либо «Моё высказывание — ложно». Это значит, что если высказывание правдиво, то, основываясь на его содержании, оно является ложью, но если это высказывание изначально ложно, то его и утверждение — ложь. Получается, ложно, что это высказывание – ложь. Следовательно, высказывание правдиво – это вывод возвращает нас к началу наших рассуждений.
В наше время парадокс лжеца рассматривается в качестве одной из формулировок парадокса Рассела.
Парадокс Рассела
Парадокс Рассела был открыт в 1901 году британским философом Бертраном Расселом, а позже его независимо переоткрыл немецкий математик Эрнст Цермело (иногда этот парадокс называют «парадоксом Рассела-Цермело»). Данный парадокс демонстрирует противоречивость логической системы Фреге, в которой математика сводится к логике. У парадокса Рассела есть несколько формулировок:
- Парадокс всемогущества – способно ли всемогущее существо создать что-либо, что может ограничить его всемогущество?
- Допустим, какая-то библиотека поставила задачу составить один большой библиографический каталог, в который должны входить все и лишь те библиографические каталоги, в которых не содержится ссылок на самих себя. Вопрос: нужно ли включить в этот каталог ссылку на него?
- Например, в какой-то стране вышел закон о том, что мэрам всех городов запрещено жить в своём городе, и разрешено жить только в «Городе мэров». Где, в таком случае, будет жить мэр этого города?
- Парадокс брадобрея – в деревне только один брадобрей, и ему приказано брить всех, кто не бреется сам, и не брить тех, кто сам бреется. Вопрос: кто должен брить брадобрея?
Не менее интересны и занятны следующие парадоксы.
Парадокс Бурали-Форти
Предположение о том, что идея о возможности множества порядковых чисел может привести к противоречиям, а это значит, что противоречивой будет теория множеств, в которой возможно построение множества порядковых чисел.
Парадокс Кантора
Предположение о возможности множества всех множеств может привести к противоречиям, а это значит, что противоречивой будет и теория, согласно которой возможно построение такого множества.
Парадокс Гильберта
Идея о том, что если все номера в гостинице с бесконечным количеством номеров заняты, в неё в любом случае можно поселить ещё людей, и их число может быть бесконечным. В этом парадоксе объясняется, что законы логики абсолютно неприемлемы к свойствам бесконечности.
Ложный вывод Монте-Карло
Вывод о том, что, играя в рулетку, можно смело ставить на красный цвет, если чёрный выпал десять раз подряд. Данный вывод считается ложным по той причине, что, согласно теории вероятностей, на наступление любого последующего события не оказывает никакого влияния событие, ему предшествующее.
Парадокс Эйнштейна-Подольского-Розена
Вопрос о том, способны ли развивающиеся вдали друг от друга процессы и события оказывать друг на друга влияние? К примеру, воздействует ли каким-либо образом рождение в отдалённой галактике сверхновой звезды на погоду в Москве? В качестве ответа можно привести следующее: исходя из законов квантовой механики, такое влияние невозможно по причине того, что как скорость света, так и скорость переноса информации являются конечными величинами, а Вселенная является бесконечной.
Парадокс близнецов
Вопрос: будет ли близнец-путешественник, вернувшийся из космического странствия на сверхсветовом звездолёте моложе своего брата, остававшегося всё это время на Земле? Если исходить из теории относительности, то на Земле (по земному течению времени) прошло больше времени, чем в звездолёте, летящем со сверхсветовой скоростью, а значит, близнец-путешественник будет моложе.
Парадокс убитого дедушки
Представьте, что вы оказались в прошлом и убили своего дедушку до его знакомства с вашей бабушкой. Следует вывод, что вы не появитесь на свет и не сможете вернуться в прошлое, чтобы убить дедушку. Представленный парадокс наглядно демонстрирует невозможность путешествий в прошлое.
Парадокс предопределения
К примеру, человек оказывается в прошлом, имеет половой контакт со своей прабабушкой и зачинает её сына, т.е. своего деда. Это становится причиной череды потомков, включая родителей этого человека, а также его самого. Получается, что если бы этот человек не совершил путешествие в прошлое, он бы вообще никогда не появился на свет.
Это всего лишь несколько логических парадоксов, которые занимают сегодня умы многих людей. Пытливому уму не составит труда отыскать ещё не один десяток подобных (например, ). Изучению, опровержению или доказательству каждого из них можно посвятить немалое количество времени и сил. И, вполне вероятно, по поводу каждого парадокса у вас могут сформироваться свои личные оригинальные умозаключения. Но это и говорит нам о том, что, несмотря на преобладание в нашей жизни законов логики и причинно-следственных связей, не всё в нашей жизни зависит от них. Порой аналогичные логическим парадоксам противоречия возникают в повседневной жизни каждого человека. В любом случае, это прекрасная пища для ума и повод для размышлений.
Кстати, касаемо размышлений: на тему логических парадоксов есть очень интересная книга под названием «Гёдель, Ешер и Бах». Её автором является американский физик и информатик Даглас Хофштадтер.
Уважаемые читатели, было бы замечательно, если бы в своих комментариях вы привели несколько знакомых вам примеров логических парадоксов. А также нам будет интересно и ваше мнение по поводу значения логики в нашей жизни — Проголосуйте за одно из расположенных ниже утверждений.
Наконец-то дошли руки и прочие органы до следующей статьи.
Итак, знакомьтесь, следующий гость в нашей студии - Ошибка игрока или ложный вывод Монте-Карло. Не мной придуманный термин, хоть и звучит как-то попсово, без заумных слов, свойственным высоколобым дядькам. Это искажение очень просто в понимании, тем не менее обитает оно повсеместно, как в жиденьком сизом веществе люмпенов, дошедших в изучении алфавита до буквы Ё, так и в густых зарослях изюма умудренных опытом с кучей знаний седовласых мудрецов. Вот что говорит Вики по этому поводу:
Оши́бка игрока́ (англ. gambler’s fallacy) или ложный вывод Монте-Карло отражает распространённое ошибочное понимание случайности событий. Связана с тем, что, как правило, человек не осознаёт на интуитивном уровне того факта, что вероятность желаемого исхода не зависит от предыдущих исходов случайного события.
Например, в случае с подбрасыванием монеты много раз подряд вполне может произойти такая ситуация, что выпадет 9 «решек» подряд. Если монета «нормальная», то для многих людей кажется очевидным, что при следующем броске вероятность выпадения орла будет больше: сложно поверить, что «решка» может выпасть десятый раз подряд. Тем не менее, такой вывод является ошибочным. Вероятность выпадения следующего орла или решки по-прежнему остаётся 1/2.
Нужно, однако, разграничивать понятия: вероятность выпадения «орла» или «решки» в каждом конкретном случае и вероятность выпадения «решки» десять раз подряд. Последняя будет равна . Впрочем, такой же будет вероятность выпадения и любой другой фиксированной последовательности из «орлов» и «решек» при 10 бросках монеты.
Что означает это в переводе на наш, пихарско-трейдерский язык?
Самый простой и известный всем пример - классический догон флетом. Т.е. попан пхает тб2.5 неважно в каком матче по кефу +-2, сливается, удваивает ставку на другой матч тб 2.5 с кефом около двойки, сливается, снова удваивает ставку и т.д. Ну или Мартингейл, зовите как хотите, не суть. И если вы предложите ему на третьей-четвертой итерации пихануть тотал меньше, он наверняка вознегодует с мегааргументом "Ты че, ведь уже было 3 тм, щас вероятность тб выше". И окажется совершенно прав. Но лишь в своей воображаемой вселенной, в реале все несколько иначе. Вероятность в будущем событии при прочих равных никак на зависит от прошлых, хоть одного хоть миллиона. Аксиома.
На счет миллиона. Недавно беседовали с кентом на эту тему (¡Hola senor Alejandro!). В какой-то миг абсолютно адекватно воспринимающий этот мир человек на простой вопрос "До этого миллион раз выпал орел. Какова вероятность что выпадет решка?" отвечает что чуть-чуть, но все же выше. Мы быстро устранили этот момент, но ситуация показательная.
Отошел от темы. Так что же делать человеку, который вляпался в догон (жестким противником которого я являюсь)? Самое главное - не думать красное или черное, тотал больше или тотал меньше, рыба или курица, от тебя ничего не зависит. Просто пхни на любой исход и уповай перед телевизором, а лучше займись спортом, сексом, рыбалкой, нужное подчеркнуть. Так меньше сожжешь калорий от "неправильного выбора", которого, по сути-то и не было. Сейчас математика (боги, фортуна, мастюшка, называй как хочешь) повернулась к тебе лицом или жопой, и с этим ничего не поделаешь. Не нужно догонять семь итераций тотал больше, смело пхай тотал меньше, это никак не влияет на результат. Точнее влияет лишь в том, что догон в конечном итоге положит тебя на лопатки, математику не обмануть, маржа сделает все за тебя. Много лет наблюдал за топиками пихарей на бюве, среди успешных на солидной дистанции не было ни одного догонщика, но сейчас не об этом.
Возьмем другой пример. Одно время общался онлайн в торговые сессии с одним всем хорошо известным конным трейдером, не буду озвучивать его имя. Так вот, он тоже попался в сети этой когнитивной ошибки. Ход его мыслей протекал по следующему руслу: 3 раза подряд пришла первой кобыла-фаворит, значит следующий забег фава нужно лэить. Победила - хсн, лэим фава в следующем забеге с удвоенной яростью, далее утроенной и т.п.. И эта "система" давала профит на каком-то отрезке времени. Но в один херовый момент произошло неизбежное: математика его победила, он вляпался в такую сумму, что надолго покинул наши стройные, хоть и не стабильные ряды. Он не мог поверить что такое возможно, ему потребовалось много времени чтобы это принять, понять и переосмыслить, поймал такой депресняк, что массаж австралийскими коалами ему бы не помог в тот момент. Думаю, это не единичный случай.
Был у меня случай когда я сам вляпался в подобное. Смутно помню детали, дело давнее. Чемпионат Италии давнешний - унылое зрелище, катеначчо, ничьи - частые гости. В одном из туров не было ни одной ничейки, и мой неокрепший мозг подсказывает, что в следующем туре тенденция вернется. Тупо взял ничейки во всех матчах и... мегапосос, снова ни одной ничьей. Но я же крутой перец, меня так просто не возьмешь, в следующем туре снова беру нички удвоенной ставкой (привет Иллюзия контроля) - и лишь одна ничья во всем туре. По классике жанра я должен был пихать и отбиваться, ну сейчас-то точно все будет ништяк. Но реальность макнула поглубже, у меня тупо закончились деньги. Отвечу на ваш вопрос: я не знаю что было в следующем туре, не смотрел резы, думал сойду с ума если увижу океан ничеек. Дорогой урок, но как оказалось, весьма полезный.
Буду завершать, 3 часа ночи. Загадаю загадку для закрепления, самостоятельного анализа и улучшения впитывания вышесказанного. Какова вероятность что Барселона не выиграет дома у, скажем, Малаги два раз подряд? Кеф на п1 - 1.2. И как скоро это может наступить? Первому ответившему верно с меня ништячок, скажем, напишу статью на выбранную им тему.
Итак, резюмируя. Не смотрите что было ранее, это не имеет значения. Если посмотрели - на делайте выводов, они субъективны. Сделали выводы - не стройте из них предсказаний, они недостоверны. Все же построили предсказание - будьте готовы легко его изменить, не цепляйтесь за него как за единственно верное (одна из моих любимых когнитивных ошибок, поговорим о ней в другой раз). Если вцепились и не можете отпустить - сходите в завод, устройтесь в такси, доставщиком пиццы, выберите любое другое кайло, игры с вероятностями пока, увы, не для вас. Но не отчаивайтесь, читайте, работайте над собой, улучшайте понимание процессов, происходящих в вашей башке, побурите свой мозг. Пройдя нефтеносные и угольные слои, рано или поздно вы добурите до состояний разума, не столь закостенелых и спрессованных, и когда-нибудь, с некоей долей вероятности, вы сможете вновь ступить на витиеватую тропинку некайлового бабла.