Критерій песимізму-оптимізму Гурвіца

Упрактиці прийняття рішень ЛПР керується як критеріями, що з крайнім песимізмом чи врахуванням максимального ризику.

Намагаючись зайняти найбільш урівноважену позицію, ЛПР може запровадити оцінний коефіцієнт, званий коефіцієнтом песимізму, що у інтервалі і відбиває ситуацію, проміжну між точкою зору крайнього оптимізму і крайнього песимізму.

Цей коефіцієнт визначається на основі статистичних досліджень результатів прийняття рішень або особистого досвідуприйняття рішень у подібних ситуаціях.

Платіжна матриця доповнюється стовпцем, коефіцієнти якого розраховуються за такою формулою:

Wi = Cminj aij + (1-C) maxj aij (1.4.3)

Де C – коефіцієнт песимізму.

Оптимальною за цим критерієм вважається стратегія, в якій значення Wi максимально: W = max Wi

При С=1 критерій Гурвіца перетворюється на ММ-критерій. При С = 0 він перетворюється на критерій азартного гравця, який робить ставку те що, що «випаде» найкращий випадок.

Критерій Гурвіца застосовується у ситуації, коли:

1. Інформація про стани довкіллявідсутня чи недостовірна;

3. Реалізується лише мала кількість рішень;

4. Допускається певний ризик.

Критерій Ходжа-Лемана

Цейкритерій спирається одночасно на ММ-критерій та критерій максимального математичного очікування виграшу. При визначенні оптимальної стратегії цього критерію вводиться параметр достовірності інформації про розподіл ймовірностей станів навколишнього середовища, значення якого знаходиться в інтервалі .

Якщо рівень достовірності великий, то домінує критерій максимального математичного очікування виграшу, інакше ММ-критерій

Платіжна матриця доповнюється стовпцем, коефіцієнти якого визначаються за такою формулою:

де u – параметр достовірності інформації про ймовірності станів навколишнього середовища.

Оптимальною за цим критерієм вважається та стратегія, в якій значення Wi максимально: W = max Wi

Цей критерій застосовується в наступному випадку:

1. Є інформація про ймовірність станів навколишнього середовища, проте ця інформація отримана на основі відносно невеликої кількості спостережень і може змінитися;

2. Прийняте рішеннятеоретично допускає нескінченно багато реалізацій;

3. При малій кількості реалізації допускається певний ризик.

Приклад вирішення статистичної гри

Розглянемоприклад вирішення статистичної гри в економічному завданні.

Сільськогосподарське підприємство виготовляє капусту. Воно має можливість зберігати виготовлену капусту протягом усього сезону реалізації - з осені до початку літа наступного року.

Господарство може вибрати одну із трьох стратегічних програм реалізації капусти протягом сезону реалізації:

A1 - реалізувати всю капусту восени безпосередньо після збирання;

A2 - закласти частину капусти на зберігання та реалізувати її протягом осінніх та зимових місяців;

A3 – закласти всю капусту на зберігання та реалізувати її у весняні місяці.

Сума витрат за виробництво, зберігання та реалізацію капусти для господарства під час виборів їм кожної зі стратегій становить відповідно 20, 30 і 40 тис. грошових одиниць.

На регіональному ринку капусти може скластися одна з наступних трьох ситуацій:

S1 - надходження капусти ринку відбувається поступово протягом усього сезону реалізації і ринок не відчуває сезонних коливань цін реалізації продукту;

S2 - восени на ринок надходить капусти трохи більше, ніж взимку і навесні. У зв'язку з цим спостерігаються невеликі сезонні коливання цін – на початку зими ціни трохи зростають порівняно з осіннім рівнем та тримаються стабільними протягом усіх наступних місяців сезону реалізації;

S3 - восени на ринок надходить капусти значно більше, ніж взимку і навесні. Обсяги капусти, що надходить протягом сезону реалізації, постійно зменшуються. Тому ринок зазнає значних сезонних коливань цін.

Значення суми виручки підприємства від капусти під час виборів кожної зі стратегій реалізації та формуванні різних ситуацій над ринком представлені у таблиці 6.

Таблиця 6.

Виручка від капусти, тис. д.е.

У задачі необхідно визначити:

1. Яка стратегія господарства є найвигіднішою, якщо відомі значення ймовірностей станів ринку капусти регіону: 0,3, 0,6 та 0,1 відповідно;

2. Яка стратегія господарства є найвигіднішою, якщо інформація про ймовірність станів ринку капусти відсутня і підприємству необхідне:

а) здобути мінімально гарантований виграш;

б) врахувати значення ризику від різних рішень;

в) визначити найвигіднішу стратегію, якщо коефіцієнт песимізму дорівнює 0,3;

3. Визначити найбільш вигідну стратегію, якщо інформація про ймовірності станів ринку не є цілком достовірною та параметр достовірності інформації дорівнює 0,7;

4. Дати економічну інтерпретацію результатів розв'язання задачі.

1. Складемо платіжну матрицюцієї гри. Її коефіцієнтами будуть значення прибутку від виробництва капусти, одержувані як різниця суми виручки від капусти і витрат за виробництво, зберігання та реалізацію капусти (таблиця 7).

Таблиця 7

Платіжна матриця завдання визначення найвигіднішої стратегії реалізації капусти

Оптимальною за цим критерієм за вказаних значень ймовірностей стану ринку капусти буде стратегія A2 (W = 6,3)

3. Визначимо найбільш вигідні стратегії підприємства за ММ-критерієм, критерієм недостатньої основи Лапласа (НВ-критерій) та критерієм песимізму-оптимізму (на малюнку - ПО-критерій, таблиця 9).

Таблиця 9

Визначення оптимальної стратегії в статистичної гриза максимінним критерієм, критерієм недостатньої основи Лапласа та критерієм песимізму-оптимізму

Значення Wi для ММ-критерію знайдемо за формулою:

W1 = min (10, 5, 2) = 2

W2 = min (0, 10, 3) = 0

W3 = min (-10, 0 20) = -10

Оптимальною стратегією за максимінним критерієм є стратегія A1 (W = 2).

Визначимо оптимальну стратегію за критерієм недостатньої основи Лапласа.

За цим критерієм оптимальною є стратегія A1 (W = 5,67).

За критерієм песимізму-оптимізму при коефіцієнті песимізму, що дорівнює 0,3 (формула (6)) - стратегія A3 (W = 11).

4. Визначимо найбільш вигідну стратегію за критерієм мінімального ризику. Для цього розрахуємо матрицю ризиків (таблиця 10).

Таблиця 10

Визначення оптимальної стратегії у статистичній грі за критерієм мінімаксного ризику за допомогою побудови матриці ризиків

За критерієм Ходжа-Лемана оптимальною для господарства буде стратегія A1 (W = 4,94).

6. Проведемо економічну інтерпретацію результатів розв'язання задачі.

Якщо підприємство має інформацію про ймовірності стану ринку капусти і значення цих ймовірностей відповідають вихідним даним завданням, найбільш вигідною стратегією є продаж частини капусти в осінні місяці і зберігання капусти, що залишилася для реалізації протягом зимових місяців (прибуток складе 6,3 тис. д.е.).

Ця ж стратегія є найефективнішою, якщо інформація про ймовірність станів ринку капусти відсутня і користувачеві необхідно мінімізувати ступінь можливого ризику втрати прибутку в процесі прийняття рішення (значення можливого ризику становитиме 17 тис. д.е.).

У разі, коли за відсутності інформації про стан ринку найбільш істотним для користувача є не максимізація прибутку в абсолютному вираженні, а отримання її гарантованого обсягу, хоча б і мінімального, найбільш доцільним рішенням є реалізація всієї капусти в осінні місяці (прибуток становитиме 2 тис. д.е.).

Ця ж стратегія є найбільш вигідною, якщо користувач має інформацію про ймовірності станів ринку, що відповідає вихідним даним, але ця інформація не є цілком достовірною (у разі, якщо інформація має достовірність 0,7, прибуток становитиме 4,94 тис. д.е.).

У разі, якщо інформація про ймовірності станів ринку відсутня і ризик значних втрат не є для користувача визначальним фактором при прийнятті рішення, або є підстави для оптимістичної оцінки ситуації на ринку капусти, при якому користувач має можливість отримати найбільший прибуток від виробництва капусти, йому слід зберегти вироблену продукцію і реалізувати її в 17 вес. ).

прийняття рішення

Критерій Ходжа-Лемана.

Позначається – HL-критерій. Є зваженою сумою критеріїв Байєса-Лапласа і МініМаксного.

де v - ваговий коефіцієнт,
і відображає ступінь довіри до розподілу ймовірностей, що використовується.

Якщо v=0 – критерій HL збігається з ММ-критерієм;

Якщо v=1 – критерій HL збігається з критерієм Байєса Лапласа.

Цей критерій застосовується:

Імовірність появи подій F j – невідома, але можна зробити деякі припущення.

Прийняття рішень теоретично реалізується і за малих числах реалізації допускається певний ризик.

Критерій Гурвіца

Позначається HW-критерій.

У цьому критерії оцінна функція є середньозваженою між точками зору крайнього оптимізму і крайнього песимізму.

де с – ваговий коефіцієнт. Зазвичай з = 0,5. Тоді отримуємо середнє виважене.

Правило вибору згідно з критерієм Гурвіца, формується таким чином:

матриця рішень
доповнюється стовпцем, що містить середнє зважене найменшого та найбільшого результатів для кожного рядка. Вибираються ті варіанти, у рядках яких стоять найбільші елементиe ij цього стовпця.

Якщо с = 1 - критерій азартного гравця;

Якщо з = 0 – критерій мінімаксів.

Застосовується цей критерій:

про ймовірність настання подій нічого не відомо;

рішення приймається невелика кількість разів і допускається певний ризик.

С – вказує ступінь допустимого ризику.

Складовий критерій Байєса-Лапласа та МініМаксного критеріївBL(MM)

Даний критерій дозволяє керувати величиною допустимого ризику і більше, дозволяє вибрати рішення, в якому ризик буде виправданий.

Ідея цього критерію: спочатку знаходиться рішення по МініМаксному критерію і це рішення використовують як опорний. Після цього вибирають рівень допустимого ризику, тобто. величину яку можливий виграш може бути менше, ніж у опорному рішенні (у разі). З подальшого розгляду виключаються всі рішення, які мають величину ризику перевищує допустимий. Позначимо i0 – номер опорного рішення.

- Величина допустимого ризику.

В результаті одержуємо безліч рішень. Це дає можливість вибрати серед них рішення, в яких ризик виправданий, тобто такі рішення, додатковий виграш яких у кращому випадку порівняно з базовим варіантом перевищує можливий програш у найгіршому випадку.

Приклад:нехай якусь технологічну установку потрібно перевірити з призупиненням її роботи. До поточного часу встановлення може перебувати в одному з трьох станів:

F 1 – несправностей немає та встановлення може продовжувати роботу;

F 2 - Потрібен незначний ремонт окремих деталей;

F 3 – подальша експлуатація установки можлива лише після капітального ремонту.

Можливі рішення:

E 1 – здійснити повну перевірку обладнання із залученням фахівців із боку;

E 2 – провести огляд та можливий ремонт самотужки;

E 3 – відмовитися від перевірки та не призупиняти випуск продукції.

Виходячи з досвіду, підприємство збудувало наступну матрицю, взявши до уваги основний критерій – витрати на перевірку та ремонт.

По МініМаксномукритерію слід обрати рішення Е 1 , тобто. здійснити повну перевірку обладнання із залученням фахівців з боку.

=-20, тобто. рішення Е 1 .

Критерій Севіджда.

Будуємо матрицю жалю:

За критерієм Севіджа - рішення Е1.

Критерій Байєса-Лапласа.

Припустимо, всі стани рівноймовірні – 1/3.

За критерієм Байєса-Лапласа краще рішення Е 3 .

Критерій Гурвіца.з = 0,5

Прийняття рішень у багатоцільових задачах

Відмінною особливістю багатоцільових завдань є відсутність оптимального рішення.

Розглядаються безліч рішень, які називаються безліч Паретто оптимальних рішень або безліччю компромісних рішень.

Причому будь-яке рішення з цієї множини може бути оптимальним. Без залучення додаткової інформаціїпро відношення переваги особи, яка приймає рішення (ЛВР), вирішити завдання неможливо.

Усі методи діляться залежно від цього, яка інформація використовується.

Усі методи можна розділити на 2 класи:

методи, засновані на побудові відносини переваги сильнішого, ніж відношення Паретто.

Методи, що ґрунтуються на побудові агрегованого критерію.

Переважна більшість методів використовують інформацію щодо відносної важливості критеріїв.

Ставлення Паретто– це відношення переваги, яке визначається наступним чином: рішення вважається ефективним, якщо не існує іншого рішення, яке не поступається йому за всіма параметрами і перевищує хоча б по одному.

Таким чином, це бінарне відношення дозволяє порівнювати і в результаті отримувати безліч оптимальних рішень:

Методи вибору найкращого рішення.

Метод виділення головного критерію.

Одне з критеріїв називається головним, інші накладаються обмеження. Найкращим рішенням буде рішення, що оптимізує (максимізує, мінімізує) головний критерійз урахуванням обмежень інші критерії.

Метод послідовних поступок

Упорядкування критеріїв щодо спадання важливості і рішення вибирається за наступним алгоритмом: вибирається один за важливістю критерій і серед поточної множини рішень вибирається найкращий за даним критерієм, потім призначається деяка поступка і поточна множина рішень звужується до рішень, у яких оцінка за поточним критерієм вже найкращого варіантуне більше ніж поступки. Після цього переходять до наступного за важливістю критерію.

Метод складового критерію

Інформація щодо відносної важливості критеріїв відображається у вигляді набору вагових коефіцієнтів.

Проблеми даного методу: 1) вибору вагових коефіцієнтів. Застосовується метод аналізу ієрархії (метод Сааті); 2) критерії мають бути наведені до однієї шкали або масштабу; 3) недоліки за одним критерієм можна компенсувати перевагою за іншими критеріями: накладенням обмежень на всі критерії.

Нормативні методи

Зводяться до побудови множини нормативів за кожним критерієм та деякою метрикою, яка показує ступінь відхилення рішень від нормативів. Найкраще рішення має мінімальне відхилення від нормативів:

Методи логічного поєднання критеріїв.

Усі критерії перетворюються в такий спосіб, що можуть приймати логічні значення (істина, брехня). Істина означає, що i-я метадосягнуто, а брехня – мети не досягнуто. Узагальнений критерій записується як логічної функції і рішення вважається ефективним, якщо функція набуває значення «істина». Методи нечіткої логіки дозволяють висловити ступінь досягнення мети за кожним критерієм та узагальнений критерій з дуже високою точністю.

Метод ELEKTRE

Визначення відносин Паретто: ваги критеріїв. Все безліч критеріїв розбивається на три підмножини:

- підмножина критеріїв, яким варіант x>y.

І вважається, що варіант x перевищує y якщо значення цієї функції деякому граничному значенню. Крім того, обходяться додаткові спеціальні умови, що обмежують можливість порівняння варіантів.

Вводиться ще одна функція, яка називається індексом незгоди.

Приклад:

Сформувати множину Паретто;

γ 1 =1; γ 2 =1; γ 3 =1; γ 4 =1.

Має бути ≥ 1

Метод порядкової оптимізації.

Використовується інформація щодо відносної важливості критеріїв. Цей метод заснований на визначенні упорядкованості критеріїв важливості; знаходженні порядкових відносин, які задовольняють це упорядкування; побудові полінома з цих порядкових відносин.

Приклад:У ролі ЛПР виступає покупець автомобіля. ЛПР сформував собі 5 критеріїв:

Комфортність;

Престижність марки;

Швидкісні якості;

Зовнішній вигляд авто.

Критерії 1 і 2 мають однакову важливість, як і критерії 3, 4 і 5. Критерії 1 чи 2 важливіше критеріїв 3, 4 і п'ять. Ініціюючий поліном в даному випадкувиглядає наступним чином:

Якщо візьмемо наступне впорядкування критеріїв – схема важливості критеріїв – то на підставі цього.

Проблеми: 1) сам процес отримання інформації про відносну важливість трудомісткий критеріїв; 2) ЛПР може давати суперечливу інформацію про порівняльну важливість критеріїв; 3) оцінки за критеріями мають бути надані у суворих шкалах.

Метод ефективний, якщо кількість критеріїв невелика. Застосування цього методу залежить від кількості порівнюваних варіантів. Не потрібно, щоб критерії були однієї природи та виражені в одних одиницях.

Метод Подіновського

Заснований на побудові сильнішого відношення, ніж ставлення Паретто. Інформація про відносну важливість критеріїв не перетворюється на числову форму. Від ЛПР виходить інформація про те, що деяка група критеріїв важливіша або рівноцінна іншій групі критеріїв. Дозволяє звузити безліч варіантів. Далі інформація використовується для впорядкування векторів оцінок рішень, поле чого з нової множини векторів вибирається не домінується за Паретто.

Обмеження застосування методу:критерії мають бути однорідними.

Критерій Ходжа-Лемана привносить чинник певної суб'єктивності після ухвалення рішення.

Рішення приймається за умов ризику. Однак ЛПР має певну недовіру до розподілу ймовірностей станів навколишнього середовища.

Тому ЛПР вводить якийсь "коефіцієнт довіри" l до ймовірностей станів навколишнього середовища (0 £ l £ 1). Щоб не ризикувати, зазвичай таким коефіцієнтом беруть 0,4. Цей коефіцієнт ще називають рівнем оптимізму.

Показник ефективності стратегії Аi за критерієм Ходжа-Лемана знаходиться за такою формулою:

#Для випадку оптимізації втрат критерій буде таким:

Z = #

Таким чином, вихідну матрицю необхідно доповнити праворуч ще трьома стовпцями. У перший слід внести значення математичних очікувань всіх стратегій, помножених рівень оптимізму l = 0,4. У другій потрібно внести значення найменших елементів всіх рядків, помножених рівень песимізму 1 – l = 1 – 0,4 = 0,6 . У третій доданий стовпець внесемо суму значень перших двох доданих стовпців:

Приклад обчислень для першого рядка:

0,4  (0,33 + 0,27 + 0,153 + 0,115 + 0,256) = 0,4  5,75 = 2,3

= 0,6  3 = 1,8

У разі найбільший елемент 4,78 (у матриці він виділено). Таким чином, у нашому прикладі оптимальною стратегієюбуде А3, тобто. інвестор для вкладення має обрати третій проект.

Відповідь А3.

Намагаючись зайняти найбільш урівноважену позицію, Гурвіц припустив оцінну функцію, яка знаходиться десь між точкою зору крайнього оптимізму та крайнього песимізму:

e ir = {Ce ij + (1- C) e ij } ,

де З- ваговий множник.

Правило вибору згідно з критерієм Гурвіца, формується таким чином:

матриця рішень доповнюється стовпцем, що містить середнє зважене найменшого та найбільшого результатів для кожного рядка. Вибираються ті варіанти, у рядках яких стоять найбільші елементиe ir цього стовпця.

При З=1 критерій Гурвіца перетворюється на ММ-критерій. При З= 0 він перетворюється на критерій "азартного гравця"

e ir = e ij ,

тобто. ми стаємо на думку азартного гравця, що робить ставку на те, що «випаде» найвигідніший випадок.

У технічних додатках складно вибрати ваговий множник З, т.к. важко знайти кількісну характеристику тим часток оптимізму і песимізму, які є присутніми під час ухвалення рішення. Тому найчастіше З := 1 / 2 .

Критерій Гурвіца застосовується у разі, коли:

про ймовірності появи стану F jнічого не відомо;

з появою стану F jнеобхідно рахуватися;

реалізується лише мала кількість рішень;

допускається певний ризик.

2О. Критерій Ходжа-Лемана.

Цей критерій спирається одночасно на ММ-критерій та критерій Баєса-Лапласа. За допомогою параметра n виражається ступінь довіри до використовуваних розподілів ймовірностей. Якщо довіра велика, то домінує критерій Баєса-Лапласа, інакше – ММ-критерій, тобто. ми шукаємо

e ir = (n + (1-n) e ir), 0 £ n £ 1.

Правило вибору, яке відповідає критерію Ходжа-Лемана формується таким чином:

матриця рішень доповнюється стовпцем, складеним із середніх зважених (з вагоюn º const) математичне очікування та найменшого результату кожного рядка (*). Відбираються варіанти рішень у рядках якого стоїть найбільше значення цього стовпця.

При n = 1 критерій Ходжа-Лемана перетворюється на критерій Байєса-Лапласа, а за n = 0 стає мінімаксним.

Вибір n суб'єктивний т. до. Ступінь достовірності будь-якої функції розподілу – справа темна.

Для застосування критерію Ходжа-Лемана бажано, щоб ситуація, у якій приймається рішення, задовольняла властивостям:

F jневідомі, але деякі припущення щодо розподілу ймовірностей можливі;

ухвалене рішення теоретично допускає нескінченно багато реалізацій;

при малих числах реалізації допускається певний ризик.

3О. Критерій Гермейєра.

Цей критерій спрямовано величину втрат, тобто. на негативні значення всіх e ij . При цьому

e ir = e ij q j .

Т.к. у господарських завданнях переважно мають справу з цінами та витратами, умова e ij <0 обычно выполняется. В случае же, когда среди величин e ij зустрічаються і позитивні значення, можна перейти до строго негативних значень за допомогою перетворення e ij - aпри підходящім чином підібраному a> 0. У цьому оптимальний варіант рішення залежить від а.

Правило вибору згідно з критерієм Гермейєра формулюється так:

матриця рішень доповнюється ще одним стовпцем, що містить у кожному рядку найменший твірнаявного в ній результату на ймовірність відповідного стануF j . Вибираються ті варіанти, у рядках яких знаходиться найбільше значенняe ij цього стовпця.

У певному сенсі критерій Гермейера узагальнює ММ-критерій: у разі рівномірного розподілу q j = , j=, вони стають ідентичними.

Умови його застосування такі:

ймовірності появи стану F j невідомі;

з появою тих чи інших станів, окремо чи комплексно, необхідно рахуватися;

допускається певний ризик;

Рішення може реалізуватися один або кілька разів.

Якщо функція розподілу відома не дуже надійно, а числа реалізації малі, то, дотримуючись критерію Гермейера, отримують, взагалі кажучи, невиправдано великий ризик.

Експертні оцінки мінімаксного методу та методів Байєса - Лапласа та Севіджа

Наведені в підпункті 2.8.1 найпростіші критерії та стратегії прийняття рішень (2.8.1) (2.8.5) мають чітке та логічне пояснення мотивів, якими керуються особи, які приймають рішення. Далі можна перейти до розгляду узагальнених класичних критеріїв ухвалення рішень. До них відносяться мінімаксний критерій, критерій Байєса – Лапласа, критерій Севіджа, а також інші узагальнення.

Мінімаксний критерій та метод

Мінімаксний критерій використовує оцінну функцію (2.8.1, а), що відповідає песимістичній позиції, що формується співвідношенням

Справедливе співвідношення

причому Zn„„ (2.8.8) - оцінна функція мінімаксного критерію.

Правило вибору рішення відповідно до мінімаксного критерію інтерпретується наступним чином. Матриця рішень (ву)доповнюється ще одним стовпцем із найменших результатів еГкожного рядка. При ухваленні рішення слід вибрати такі варіанти Нею,рядки яких відповідають найбільшим значенням егцього стовпця. Вибрані таким чином варіанти повністю виключають ризик, оскільки особа, яка приймає рішення, орієнтована на песимістичну позицію, що не дозволяє отримати найгірший результат. Незалежно від умов Fjрезультат вибору не може виявитися нижче 2.тт.Мінімаксний критерій належить до фундаментальних, оскільки використовується досить часто. Застосування мінімаксного критерію виправдане у таких ситуаціях:

• 1) про можливість появи зовнішніх станів (умов) Б]нічого невідомо (наприклад, невідомі ймовірності появи станів Р])щ,
• 2) доводиться зважати на появу різних зовнішніх станів Рр
• 3) рішення реалізується лише один раз;
• 4) необхідно виключити будь-який ризик (неприпустимо отримання результату нижче значення 2,„,„).

Критерій та метод Байєса - Лапласа

Для побудови оцінної функції даного критерію використовується апріорна інформація про ймовірність ц)появи зовнішніх умов РуТим самим дана ймовірна модель враховує кожне з можливих наслідків. Нехай – ймовірність появи зовнішнього стану (умови) РуТоді критерій Байєса – Лапласа

відповідає безлічі

Фактично в даному критерії як оціночна функція вибирається математичне очікування оцінки, що відповідає ""-му варіанту, причому усереднення відбувається за безліччю умов Г^.

Правило прийняття рішення (2.8.11)-(2.8.13) має імовірнісну інтерпретацію. При цьому ситуація, в якій приймається рішення, характеризується такими обставинами:

• - ймовірності появи станів (умов) відомі та не залежать від часу;
• - Рішення реалізується (теоретично) нескінченно багато разів;
• - для небагатьох реалізацій рішення допускається певний ризик.

Позиція особи, яка приймає рішення на основі критерію Байєса - Лапласа, є більш оптимістичною, ніж за мінімальним критерієм.

Критерій та метод Севіджа

Цей критерій ґрунтується на попередньому перетворенні матриці системних оцінок відповідно до співвідношення

Оціночна функція має вигляд

Безліч оптимальних варіантів рішення визначається співвідношенням

Сенс критерію (2.8.16) стає зрозумілим після аналізу співвідношень (2.8.14)-(2.8.17).

Величини а = (тахе, еЛ,обчислювані відповідно

(2.8.14), можна трактувати як максимальний додатковий виграш, який досягається, якщо У станів Fjзамість варіанта £", вибрати інший, оптимальний для цього зовнішнього стану. Величини ay = (тахву е ^)можна також інтерпретувати і як втрати (штрафи), що виникають у стані Fjпри заміні оптимального для нього варіанта

Тоді величина eirвизначена рівністю (2.8.12), є - при інтерпретації йуяк втрат - максимально можливі (за всіма зовнішніми станами Fj)втрати у разі вибору варіанта Ей.Відповідно до співвідношень (2.8.15), (2.8.17) максимально можливі втрати мінімізуються за рахунок вибору £;

З погляду матриці (ефкритерій Севіджа пов'язаний із ризиком, проте з позиції матриці (ау)він від ризику вільний, оскільки використовує стратегію мінімаксного критерію.

Узагальнений мінімаксний критерій та метод

Цей критерій використовує розширення частки імовірно заданої невизначеності. Припустимо, що для кожного з можливих зовнішніх станів Fjвизначено ймовірність його появи

Введемо ймовірність Р,застосування г"-го варіанта рішення і будемо припускати можливість реалізації тваріантів розв'язання. Тоді середнє значення

де Р= (/>„ ...,/>,„), д = (

В реальній ситуації вектор цневідомий. У цьому випадку, орієнтуючись на найменш вигідний розподіл цстанів Fj,можна досягти максимального збільшення е(Р, д)за рахунок вибору найбільш вдалого розподілу Рваріантів рішення £;. Така стратегія відповідає розширеному мінімаксному критерію, причому у цій ситуації реалізується ігрова стратегія: стану Fjмінімізують критерій, а варіанти Е,його максимізують. Загальне формулювання даного розширеного мінімального критерію має вигляд

де вектори Рідвизначено у (2.8.18).

Таким чином, мета розширеного мінімаксного критерію - знаходження найкращого розподілу ймовірностей на безлічі варіантів Е,коли в ситуації, що багаторазово використовувалася, нічого не відомо про імовірнісні стани ^, щодо яких передбачається "невигідне" розподіл.

Похідні критерії, оцінки та прийняття рішень

Цей клас критеріїв дозволяє розглядати завдання ухвалення рішення з узагальнених позицій, причому узагальнення передбачає більш повний облік апріорно відомих чинників, і навіть запровадження нових функціональних елементів.

Слід пам'ятати, що з інтерпретації критеріїв можна скористатися ідеями підпараграфа 2.8.1. Відповідно до підпараграфа 2.8.1 доцільно звести розглянуті похідні (узагальнені) критерії у табл. 2.8.

Критерій Гурвіца

Оцінна функція критерію Гурвіца знаходиться між точками граничного оптимуму (С = 0) та крайнього песимізму (С = 1). Характерно, що за С = 1 критерій Гурвіца перетворюється на мінімаксний критерій (див. підпункт 2.8.1).

Критерій Ходжа – Лемана

Критерій заснований на мінімаксному критерії та критерії Байєса - Лапласа, характеризується тим, що за допомогою параметра виражає ступінь довіри до використовуваного розподілу ймовірностей. При V = 1 критерій перетворюється на критерій Байєса - Лапласа, а при V= 0 - в мінімаксний критерій. Ситуація, у якій рекомендовано застосування цього критерію, характеризується такими умовами: ймовірність появи станів Е]невідомі, але деякі припущення про розподіл ймовірностей можливі; прийняте рішення теоретично допускає безліч реалізацій: при малих числах реалізації допускається певний ризик.

Критерій Ю. Б. Гермейєра

Цей критерій спрямовано оціночні функції, відбивають величину втрат, тобто. на негативні значення всіх е-уматриці оцінок, застосовується у господарських завданнях та орієнтований на ціни та витрати. Сенс інших властивостей:<77 - вероятность условия Еуа ег -мінімум математичного очікування витрат. У критерії Ю. Б. Гермейера допускається певний ризик під час ухвалення рішення, і навіть мають бути відомі ймовірності Цр

Таблиця 2.8.

Мінімаксний критерій та метод Баєса - Лапласа

p align="justify"> Метод дозволяє краще адаптуватися до ситуації за рахунок введення складових частин, логічно успадкованих від інших критеріїв (див. табл. 2.8). На першому етапі формування критерію фіксується опорне значення 2тт,задається мінімаксним критерієм. Потім визначається допустимий ризик 5д0|| >0 і визначається безліч згоди Величини £,-=£^0- ште^є 1 характеризують найбільш можливі втрати порівняно з е^.Після цього формується виграшна множина /2. Безліч /] п ¡2належать варіанти рішень, для яких у певних станах можуть мати втрати порівняно зі станом, що задається мінімаксним критерієм, проте в інших станах є щонайменше приріст виграшу.

Таким чином, розглянуті методи дають змогу розширити класи методів, що використовуються для прийняття рішень в умовах неповної статистично заданої невизначеності на основі обробки таблиць експертних оцінок.