Події, які відбуваються реально або у нашій уяві, можна поділити на 3 групи. Це достовірні події, які обов'язково відбудуться, неможливі події та випадкові події. Теорія ймовірностей вивчає довільні події, тобто. події, які можуть статися чи не відбутися. У цій статті буде представлена ​​в короткому вигляді теорія ймовірності формули та приклади вирішення задач з теорії ймовірності, які будуть у 4 завданні ЄДІ з математики (профільний рівень).

Навіщо потрібна теорія ймовірності

Історично потреба дослідження цих проблем виникла у XVII столітті у зв'язку з розвитком та професіоналізацією азартних ігор та появою казино. Це було реальне явище, яке вимагало свого вивчення та дослідження.

Гра в карти, кістки, рулетку створювала ситуації, коли могло статися будь-яке з кінцевого числа рівноможливих подій. Виникла необхідність дати числові оцінки можливості настання тієї чи іншої події.

У XX столітті з'ясувалося, що ця, начебто, легковажна наука відіграє важливу роль у пізнанні фундаментальних процесів, що протікають у мікросвіті. Було створено сучасну теорію ймовірностей.

Основні поняття теорії ймовірності

Об'єктом вивчення теорії ймовірностей є події та їх ймовірності. Якщо подія є складною, її можна розбити на прості складові, ймовірності яких знайти нескладно.

Сумою подій А і В називається подія С, що полягає в тому, що сталося або подія А, або подія, або події А і В одночасно.

Добутком подій А і В називається подія С, що полягає в тому, що сталося і подія А і подія.

Події А та В називається несумісними, якщо вони не можуть статися одночасно.

Подія А називається неможливою, якщо вона не може статися. Така подія позначається символом.

Подія А називається достовірною, якщо вона обов'язково станеться. Така подія позначається символом.

Нехай кожній події А поставлено у відповідність число P(А). Це число P(А) називається ймовірністю події А, якщо за такої відповідності виконані такі умови.

Важливим окремим випадком є ​​ситуація, коли є рівноймовірні елементарні результати, і довільні з цих результатів утворюють події А. У цьому випадку ймовірність можна ввести за формулою . Імовірність, введена в такий спосіб, називається класичною ймовірністю. Можна довести, що в цьому випадку властивості 1-4 виконані.

Завдання з теорії ймовірностей, що зустрічаються на ЄДІ з математики, в основному пов'язані з класичною ймовірністю. Такі завдання можуть бути дуже простими. Особливо простими є завдання з теорії ймовірностей у демонстраційних варіантах. Легко обчислити число сприятливих наслідків , у умови написано число всіх результатів .

Відповідь отримуємо за формулою.

Приклад завдання з ЄДІ з математики з визначення ймовірності

На столі лежать 20 пиріжків - 5 з капустою, 7 з яблуками та 8 з рисом. Марина хоче взяти пиріжок. Яка ймовірність, що вона візьме пиріжок із рисом?

Рішення.

Усього рівноймовірних елементарних результатів 20, тобто Марина може взяти будь-який із 20 пиріжків. Але нам потрібно оцінити ймовірність того, що Марина візьме пиріжок з рисом, тобто де А — це вибір пиріжка з рисом. Значить у нас кількість сприятливих результатів (виборів пиріжків з рисом) лише 8. Тоді ймовірність визначатиметься за формулою:

Незалежні, протилежні та довільні події

Однак у відкритому банку завдань стали зустрічатися і складніші завдання. Тому звернемо увагу читача та інші питання, вивчені теорії ймовірностей.

Події А та В називається незалежними, якщо ймовірність кожного з них не залежить від того, чи відбулася інша подія.

Подія B у тому, що А не відбулося, тобто. подія B є протилежною до події А. Ймовірність протилежної події дорівнює одиниці мінус ймовірність прямої події, тобто. .

Теореми складання та множення ймовірностей, формули

Для довільних подій А і В ймовірність суми цих подій дорівнює сумі ймовірностей без ймовірності їх спільної події, тобто. .

Для незалежних подій А і В імовірність добутку цих подій дорівнює добутку їх ймовірностей, тобто. в цьому випадку .

Останні 2 твердження називаються теоремами складання та множення ймовірностей.

Не завжди підрахунок числа наслідків є настільки простим. У ряді випадків потрібно використовувати формули комбінаторики. При цьому найбільш важливим є підрахунок числа подій, які відповідають певним умовам. Іноді такі підрахунки можуть ставати самостійними завданнями.

Скільки способами можна посадити 6 учнів на 6 вільних місць? Перший учень займе будь-яке із 6 місць. Кожному з цих варіантів відповідає 5 способів зайняти місце другому учню. Для третього учня залишається 4 вільні місця, для четвертого - 3, для п'ятого - 2, шостий займе єдине місце, що залишилося. Щоб знайти число всіх варіантів, треба знайти твір, який позначається 6 символом! і читається "шість факторіал".

У загальному випадку відповідь на це питання дає формула для числа перестановок з п елементів У нашому випадку.

Розглянемо тепер інший випадок із нашими учнями. Скільки способами можна посадити 2 учнів на 6 вільних місць? Перший учень займе будь-яке із 6 місць. Кожному з цих варіантів відповідає 5 способів зайняти місце другому учню. Щоб знайти число всіх варіантів, треба знайти твір.

У загальному випадку відповідь на це питання дає формула для числа розміщень з n елементів по k елементам

У нашому випадку .

І останній випадок із цієї серії. Скільки можна вибрати трьох учнів з 6? Першого учня можна вибрати 6 способами, другого – 5 способами, третього – чотирма. Але серед цих варіантів 6 разів зустрічається та сама трійка учнів. Щоб визначити число всіх варіантів, треба обчислити величину: . У загальному випадку відповідь на це питання дає формула для числа поєднань з елементів за елементами:

У нашому випадку .

Приклади розв'язання задач з ЄДІ з математики визначення ймовірності

Завдання 1. Зі збірки під ред. Ященко.

На тарілці 30 пиріжків: 3 з м'ясом, 18 з капустою та 9 з вишнею. Сашко навмання вибирає один пиріжок. Знайдіть ймовірність того, що він опиниться з вишнею.

.

Відповідь: 0,3.

Завдання 2. Зі збірки під ред. Ященко.

У кожній партії з 1000 лампочок загалом 20 бракованих. Знайдіть ймовірність того, що навмання взята лампочка з партії буде справною.

Рішення: Кількість справних лампочок 1000-20 = 980. Тоді ймовірність того, що взята навмання лампочка з партії буде справною.

Відповідь: 0,98.

Імовірність того, що на тестуванні з математики учень У. правильно вирішить більше 9 завдань, дорівнює 0,67. Імовірність того, що У. правильно вирішить більше 8 завдань, дорівнює 0,73. Знайдіть ймовірність того, що У. правильно вирішить рівно 9 задач.

Якщо ми уявімо числову пряму і на ній відзначимо точки 8 і 9, то побачимо, що умова «У. вірно вирішить рівно 9 завдань» входить до умови «У. правильно вирішить більше 8 завдань», але не належить до умови «У. правильно вирішить більше 9 завдань».

Однак умова «У. вірно вирішить більше 9 завдань» міститься за умови «У. правильно вирішить понад 8 завдань». Отже, якщо ми позначимо події: «У. правильно вирішить рівно 9 завдань» - через А, «У. правильно вирішить більше 8 завдань» - через B, «У. вірно вирішить більше 9 завдань через С. То рішення буде виглядати наступним чином:

Відповідь: 0,06.

На іспиті з геометрії школяр відповідає одне питання зі списку екзаменаційних питань. Імовірність того, що це питання на тему «Тригонометрія», дорівнює 0,2. Імовірність того, що це питання на тему «Зовнішні кути», дорівнює 0,15. Запитань, які одночасно стосуються цих двох тем, немає. Знайдіть ймовірність того, що на іспиті школяру дістанеться питання з однієї з цих двох тем.

Давайте подумаємо, які у нас дані події. Нам дано дві несумісні події. Тобто або питання ставитиметься до теми «Тригонометрія», або до теми «Зовнішні кути». За теоремою ймовірності ймовірність несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей кожної події, ми повинні знайти суму ймовірностей цих подій, тобто:

Відповідь: 0,35.

Приміщення висвітлюється ліхтарем із трьома лампами. Імовірність перегорання однієї лампи протягом року дорівнює 0,29. Знайдіть ймовірність того, що протягом року хоч одна лампа не перегорить.

Розглянемо можливі події. У нас є три лампочки, кожна з яких може перегоріти або не перегоріти незалежно від будь-якої іншої лампочки. Це незалежні події.

Тоді зазначимо варіанти таких подій. Приймемо позначення: лампочка горить, лампочка перегоріла. І одразу поруч підрахуємо ймовірність події. Наприклад, ймовірність події, в якій відбулися три незалежні події «лампочка перегоріла», «лампочка горить», «лампочка горить»: де ймовірність події «лампочка горить» підраховується як ймовірність події, протилежної події «лампочка не горить», а саме: .

Зауважимо, що сприятливих нам несумісних подій всього 7. Ймовірність таких подій дорівнює сумі ймовірностей кожної з подій: .

Відповідь: 0,975608.

Ще одне завдання ви можете подивитися на малюнку:

Таким чином, ми з вами зрозуміли, що таке теорія ймовірності формули та приклади вирішення завдань, за якою вам можуть зустрітися у варіанті ЄДІ.

Теорія імовірності - Математична наука, що вивчає закономірності випадкових явищ. Під випадковими явищами розуміються явища з невизначеним результатом, що відбуваються при неодноразовому відтворенні певного комплексу умов.

Наприклад, під час кидання монети не можна передбачити, якою стороною вона впаде. Результат кидання монети випадковий. Але при досить великому числі кидань монети існує певна закономірність (герб і грати випадуть приблизно однакове число разів).

Основні поняття теорії ймовірностей

Випробування (досвід, експеримент) - Здійснення деякого певного комплексу умов, в яких спостерігається те чи інше явище, фіксується той чи інший результат.

Наприклад: підкидання гральної кістки з випаданням числа очок; перепад температури повітря; метод лікування захворювання; деякий період життя.

Випадкова подія (або просто подія) - Вихід випробування.

Приклади випадкових подій:

випадання одного очка при підкиданні гральної кістки;

загострення ішемічної хвороби серця при різкому підвищенні температури повітря влітку;

розвиток ускладнень захворювання за неправильного вибору методу лікування;

вступ до вузу при успішному навчанні в школі.

Події позначають великими літерами латинського алфавіту: A , B , C , …

Подія називається достовірним якщо в результаті випробування воно обов'язково має відбутися.

Подія називається неможливим , якщо в результаті випробовування воно взагалі не може відбутися.

Наприклад,якщо партії всі вироби стандартні, то вилучення з неї стандартного вироби - подія достовірне, а витяг за тих самих умовах бракованого вироби - подія неможливе.

КЛАСИЧНЕ ВИЗНАЧЕННЯ МОЖЛИВОСТІ

Імовірність одна із основних понять теорії ймовірностей.

Класичною ймовірністю події називається відношення числа випадків, що сприяють події , До загального числа випадків, тобто.

, (5.1)

де
- ймовірність події ,

- кількість випадків, що сприяють події ,

- загальна кількість випадків.

Властивості ймовірності події

Імовірність будь-якої події укладено між нулем та одиницею, тобто.

Імовірність достовірного події дорівнює одиниці, тобто.

.

Імовірність неможливої ​​події дорівнює нулю, тобто.

.

(Запропонувати вирішити кілька простих завдань усно).

СТАТИСТИЧНЕ ВИЗНАЧЕННЯ МОЖЛИВОСТІ

На практиці часто при оцінці ймовірностей подій ґрунтуються на тому, наскільки часто буде з'являтися дана подія у випробуваннях. І тут використовується статистичне визначення ймовірності.

Статистичною ймовірністю події називається межа відносної частоти (відношення числа випадків m, які сприяють появі події до загального числа проведених випробувань), коли кількість випробувань прагне нескінченності, тобто.

де
- статистична ймовірність події ,
- кількість випробувань, у яких з'явилася подія , - загальна кількість випробувань.

На відміну від класичної ймовірності, статистична ймовірність є досвідченою характеристикою. Класична ймовірність служить для теоретичного обчислення ймовірності події за заданими умовами і вимагає, щоб випробування проводилися насправді. Формула статистичної ймовірності служить експериментального визначення ймовірності події, тобто. передбачається, що випробування було проведено фактично.

Статистична ймовірність приблизно дорівнює відносної частоті випадкового події, тому практично за статистичну ймовірність беруть відносну частоту, т.к. статистичну ймовірність практично знайти не можна.

Статистичне визначення ймовірності застосовується до випадкових подій, які мають такі властивості:

Теореми складання та множення ймовірностей

Основні поняття

а) Єдино можливі події

Події
називають єдино можливими, якщо в результаті кожного випробування хоча б одне з них, напевно, настане.

Ці події утворюють повну групу подій.

Наприклад, при підкиданні грального кубика, єдино можливими є події випадання граней з одним, двома, трьома, чотирма, п'ятьма і шістьма очками. Вони утворюють повну групу подій.

б) Події називають несумісними, якщо поява одного з них виключає появу інших подій в тому самому випробуванні. Інакше їх називають спільними.

в) Протилежниминазивають дві єдино можливі події, що утворюють повну групу. Позначають і .

г) Події називають незалежнимиякщо ймовірність настання одного з них не залежить від вчинення або недосконалості інших.

Дії над подіями

Сумою кількох подій називається подія, що полягає у настанні хоча б однієї з цих подій.

Якщо і – спільні події, то їхня сума
або
означає наступ або події A, або події B, або обох подій разом.

Якщо і - несумісні події, то їх сума
означає наступ або події , або події .

суму подій позначають:

Твором (перетином) кількох подій називається подія, що полягає у спільному наступі всіх цих подій.

Твір двох подій позначають
або
.

твір подій позначають

Теорема складання ймовірностей несумісних подій

Імовірність суми двох або кількох несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій:

Для двох подій;

- для подій.

Наслідки:

а) Сума ймовірностей протилежних подій і дорівнює одиниці:

Імовірність протилежної події позначають :
.

б) Сума ймовірностей подій, що утворюють повну групу подій, дорівнює одиниці: або
.

Теорема складання ймовірностей спільних подій

Імовірність суми двох спільних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій без ймовірностей їхнього перетину, тобто.

Теорема множення ймовірностей

а) Для двох незалежних подій:

б) Для двох залежних подій

де
- Умовна ймовірність події , тобто. ймовірність події , обчислена за умови, що подія сталося.

в) Для незалежних подій:

.

г) Імовірність настання хоча б однієї з подій , що утворюють повну групу незалежних подій:

Умовна ймовірність

Ймовірність події , обчислена за умови, що сталася подія називається умовною ймовірністю події і позначається
або
.

При обчисленні умовної ймовірності за формулою класичної ймовірності число результатів і
підраховується з урахуванням того, що до здійснення події сталася подія .

Класичне та статистичне визначення ймовірності

Для практичної діяльності необхідно вміти порівнювати події за рівнем можливості їхнього наступу. Розглянемо класичний випадок. В урні знаходиться 10 куль, 8 із них білого кольору, 2 чорного. Очевидно, що подія «з урни буде витягнута куля білого кольору» і подія «з урни буде вилучена куля чорного кольору» мають різний ступінь можливості їх наступу. Тож порівняння подій потрібна певна кількісна міра.

Кількісним заходом можливості настання події є ймовірність . Найбільшого поширення набули два визначення ймовірності події: класичне і статистичне.

Класичне визначенняймовірності пов'язані з поняттям сприятливого результату. Зупинимося на цьому детальніше.

Нехай результати деякого випробування утворюють повну групу подій і рівноможливі, тобто. єдино можливі, несумісні та рівноможливі. Такі результати називають елементарними наслідками, або випадками. При цьому кажуть, що випробування зводиться до схемою випадківабо « схемою урн», т.к. будь-яке ймовірне завдання для подібного випробування можна замінити еквівалентним завданням з урнами і кулями різних кольорів.

Вихід називається сприятливимподії Аякщо поява цього випадку тягне за собою появу події А.

Згідно з класичним визначенням ймовірність події А дорівнює відношенню числа наслідків, що сприяють цій події, до загального числа наслідків, тобто.

,

(1.1)

де Р(А)- Імовірність події А; m– кількість випадків, що сприяють події А; n- Загальна кількість випадків.

приклад 1.1.При киданні гральної кістки можливі шість результатів - випадання 1, 2, 3, 4, 5, 6 очок. Якою є ймовірність появи парного числа очок?

Рішення. всі n= 6 наслідків утворюють повну групу подій і рівноможливі, тобто. єдино можливі, несумісні та рівноможливі. Події А – «поява парного числа очок» – сприяють 3 результати (випадки) – випадання 2, 4 чи 6 очок. За класичною формулою ймовірності події отримуємо

Р(А) = = . ◄

Виходячи з класичного визначення ймовірності події, відзначимо її властивості:

1. Імовірність будь-якої події укладено між нулем та одиницею, тобто.

0 ≤ Р(А) ≤ 1.

2. Імовірність достовірної події дорівнює одиниці.

3. Імовірність неможливої ​​події дорівнює нулю.

Як було сказано раніше, класичне визначення ймовірності застосовується тільки для тих подій, які можуть виникнути в результаті випробувань, що мають симетрію можливих наслідків, тобто. що зводяться до схеми випадків. Однак існує великий клас подій, ймовірність яких не може бути обчислена за допомогою класичного визначення.

Наприклад, якщо припустити, що монета сплющена, очевидно, що події «поява герба» і «поява решки» не можна вважати рівноможливими. Тому формула визначення ймовірності за класичною схемою у разі неприменима.

Однак існує інший підхід при оцінці ймовірності подій, заснований на тому, наскільки часто буде з'являтися дана подія у випробуваннях. У цьому випадку використовується статистичне визначення ймовірності.

Статистичною ймовірністюподії А називається відносна частота (частина) появи цієї події у n вироблених випробуваннях, тобто.

,

(1.2)

де Р*(А)– статистична ймовірність події А; w(A)- Відносна частота події А; m- Число випробувань, в яких з'явилася подія А; n– загальна кількість випробувань.

На відміну від математичної ймовірності Р(А), що розглядається в класичному визначенні, статистична ймовірність Р*(А)є характеристикою досвідченої, експериментальної. Інакше кажучи, статистичною ймовірністю події Аназивається число, щодо якого стабілізується (встановлюється) відносна частота w(А)при необмеженому збільшенні числа випробувань, які проводяться при тому самому комплексі умов.

Наприклад, коли про стрілка кажуть, що він потрапляє в ціль з ймовірністю 0,95, то це означає, що з сотні пострілів, зроблених ним за певних умов (одна й та сама ціль на тій самій відстані, та ж гвинтівка і т.д. .), у середньому буває приблизно 95 вдалих. Звичайно, не в кожній сотні буде 95 вдалих пострілів, іноді їх буде менше, іноді більше, але в середньому при багаторазовому повторенні стрілянини в тих же умовах цей відсоток попадань залишатиметься незмінним. Цифра 0,95, що слугує показником майстерності стрілка, зазвичай дуже стійка, тобто. відсоток попадань у більшості стрільб буде для даного стрільця майже один і той же, лише в окремих випадках відхиляючись скільки-небудь значно від свого середнього значення.

Ще одним недоліком класичного визначення ймовірності ( 1.1 ), що обмежує його застосування, і те, що воно передбачає кінцеве число можливих результатів випробування. У деяких випадках цей недолік можна здолати, використовуючи геометричне визначення ймовірності, тобто. знаходячи ймовірність влучення точки в деяку область (відрізок, частина площини тощо).

Нехай плоска фігура gстановить частину плоскої фігури G(Рис. 1.1). На фігуру Gнавмання кидається крапка. Це означає, що всі точки області G«рівноправні» щодо влучення на неї покинутої випадкової точки. Вважаючи, що ймовірність події А- Попадання кинутої точки на фігуру g- пропорційна площі цієї фігури і не залежить ні від її розташування щодо G, ні від форми g, знайдемо

Ймовірністюподії називається відношення числа елементарних результатів, які сприяють даній події, до всіх рівноможливих результатів досвіду в якому може з'явитися ця подія. Імовірність події А позначають через Р(А) (тут Р – перша літера французького слова probabilite – ймовірність). Відповідно до визначення
(1.2.1)
де - Число елементарних результатів, що сприяють події А; - Число всіх рівноможливих елементарних результатів досвіду, що утворюють повну групу подій.
Це визначення ймовірності називають класичним. Воно виникло початковому етапі розвитку теорії ймовірностей.

Імовірність події має такі властивості:
1. Імовірність достовірної події дорівнює одиниці. Позначимо достовірну подію літерою. Для достовірної події , тому
(1.2.2)
2. Імовірність неможливої ​​події дорівнює нулю. Позначимо неможливу подію літерою. Для неможливої ​​події , тому
(1.2.3)
3. Імовірність випадкової події виражається позитивним числом, меншим за одиницю. Оскільки для випадкової події виконуються нерівності , або , то
(1.2.4)
4. Імовірність будь-якої події задовольняє нерівності
(1.2.5)
Це випливає із співвідношень (1.2.2) -(1.2.4).

приклад 1.У урні 10 однакових за розмірами та вагою куль, з яких 4 червоні та 6 блакитні. з урни витягується одна куля. Яка ймовірність того, що витягнута куля виявиться блакитною?

Рішення. Подія "витягнута куля виявилася блакитною" позначимо буквою А. Дане випробування має 10 рівноможливих елементарних результатів, з яких 6 сприяють події А. Відповідно до формули (1.2.1) отримуємо

приклад 2.Усі натуральні числа від 1 до 30 записані на однакових картках та поміщені до скриньки. Після ретельного перемішування карток із урни витягується одна картка. Яка ймовірність того, що число на взятій картці виявиться кратним 5?

Рішення.Позначимо через А подію "число на взятій картці кратно 5". У цьому випробуванні є 30 рівноможливих елементарних результатів, у тому числі події А сприяють 6 результатів (числа 5, 10, 15, 20, 25, 30). Отже,

приклад 3.Підкидаються два гральні кубики, підраховується сума очок на верхніх гранях. Знайти ймовірність події, що полягає в тому, що на верхніх гранях кубиків в сумі буде 9 очок.

Рішення.У цьому випробуванні всього 62 = 36 рівноможливих елементарних результатів. Події У сприяють 4 результати: (3; 6), (4; 5), (5; 4), (6; 3), тому

Приклад 4. Навмання вибрано натуральне число, що не перевищує 10. Яка ймовірність того, що це число є простим?

Рішення.Позначимо літерою З подія "вибране число є простим". У разі n = 10, m = 4 (прості числа 2, 3, 5, 7). Отже, шукана ймовірність

Приклад 5.Підкидаються дві симетричні монети. Чому дорівнює ймовірність того, що на верхніх сторонах обох монет опинилися цифри?

Рішення.Позначимо літерою D подію "на верхній стороні кожної монети виявилася цифра". У цьому випробуванні 4 рівноможливі елементарні результати: (Г, Г), (Г, Ц), (Ц, Г), (Ц, Ц). (Запис (Г, Ц) означає, що у першій монеті герб, другого - цифра). Події D сприяє один елементарний результат (Ц, Ц). Оскільки m = 1, n = 4, то

Приклад 6.Яка ймовірність того, що в навмання обраному двозначному числі цифри однакові?

Рішення.Двозначними числами є числа від 10 до 99; всього таких чисел 90. Однакові цифри мають 9 чисел (це числа 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99). Так як у цьому випадку m = 9, n = 90, то
,
де А - подія "число з однаковими цифрами".

Приклад 7.З літер слова диференціалнавмання вибирається одна літера. Яка ймовірність того, що ця літера буде: а) гласною, б) згодною, в) літерою год?

Рішення. У слові диференціал 12 букв, з них 5 голосних і 7 приголосних. Літери году цьому слові немає. Позначимо події: А - "голосна буква", В - "згодна буква", С - "літера годЧисло сприятливих елементарних результатів: -для події А, - для події В, - для події С. Оскільки n = 12, то
, та .

Приклад 8.Підкидається два гральні кубики, відзначається число очок на верхній грані кожного кубика. Знайти ймовірність того, що на обох кубиках випало однакове число очок.

Рішення.Позначимо цю подію буквою А. Події А сприяють 6 елементарних результатів: (1;]), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), (6;6). Усього рівноможливих елементарних результатів, які утворюють повну групу подій, у разі n=6 2 =36. Отже, шукана ймовірність

Приклад 9.У книзі 300 сторінок. Чому дорівнює ймовірність того, що навмання відкрита сторінка матиме порядковий номер, кратний 5?

Рішення.З умови завдання випливає, що всіх рівноможливих елементарних наслідків, що утворюють повну групу подій, буде n = 300. З них m = 60 сприяють настанню вказаної події. Дійсно, номер, кратний 5, має вигляд 5k, де k -натуральне число, причому , звідки . Отже,
, де А - подія "сторінка" має порядковий номер, кратний 5".

Приклад 10. Підкидаються два гральні кубики, підраховується сума очок на верхніх гранях. Що найімовірніше -отримати в сумі 7 або 8?

Рішення. Позначимо події: А – "випало 7 очок", В – "випало 8 очок". Події А сприяють 6 елементарних результатів: (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1), а події - 5 результатів: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2). Усіх рівноможливих елементарних результатів n = 6 2 = 36. Значить, та .

Отже, Р(А)>Р(В), тобто одержати в сумі 7 очок - більш імовірну подію, ніж одержати в сумі 8 очок.

Завдання

1. Навмання вибрано натуральне число, що не перевищує 30. Яка ймовірність того, що це число кратне 3?
2. В урні aчервоних та bблакитних куль, однакових за розмірами та вагою. Чому дорівнює ймовірність того, що навмання витягнута куля з цієї урни виявиться блакитною?
3. Наудачу вибрано число, що не перевищує 30. Яка ймовірність того, що це число є дільником зо?
4. У урні аблакитних та bчервоних куль, однакових за розмірами та вагою. З цієї урни витягають одну кулю і відкладають убік. Ця куля виявилася червоною. Після цього з урни виймають ще одну кулю. Знайти ймовірність того, що друга куля також червона.
5. Наудачу вибрано наryральне число, що не перевищує 50. Яка ймовірність того, що це число є простим?
6. Підкидається три гральні кубики, підраховується сума очок на верхніх гранях. Що найімовірніше - отримати в сумі 9 чи 10 очок?
7. Підкидається три гральні кубики, підраховується сума очок, що випали. Що найімовірніше - отримати у сумі 11 (подія А) чи 12 очок (подія В)?

Відповіді

1. 1/3. 2 . b/(a+b). 3 . 0,2. 4 . (b-1)/(a+b-1). 5 .0,3.6 . p 1 = 25/216 - можливість отримати у сумі 9 очок; p 2 = 27/216 - можливість отримати у сумі 10 очок; p 2 > p 1 7 . Р(А) = 27/216, Р(В) = 25/216, Р(А) > Р(В).

Запитання

1. Що називають ймовірністю події?
2. Чому дорівнює ймовірність достовірної події?
3. Чому дорівнює ймовірність неможливої ​​події?
4. У яких межах є можливість випадкової події?
5. У яких межах є можливість будь-якої події?
6. Яке визначення ймовірності називають класичним?

Що таке можливість?

Зіткнувшись із цим терміном перший раз, я б не зрозумів, що це таке. Тож спробую пояснити доступно.

Імовірність – це шанс того, що станеться потрібна нам подія.

Наприклад, ти вирішив зайти до знайомого, пам'ятаєш під'їзд і навіть поверх, на якому він живе. А ось номер та розташування квартири забув. І ось стоїш ти на сходовій клітці, а перед тобою двері на вибір.

Який шанс (імовірність) того, що якщо ти зателефонуєш до перших дверей, тобі відкриє твій друг? Усього квартири, а друг живе лише за однією з них. З рівним шансом ми можемо вибрати будь-які двері.

Але який цей шанс?

Двері, потрібні двері. Можливість вгадати, зателефонувавши перші двері: . Тобто один раз із трьох ти точно вгадаєш.

Ми хочемо дізнатися, зателефонувавши раз, як часто ми вгадуватимемо двері? Давай розглянь усі варіанти:

1. Ти подзвонив у 1юдвері
2. Ти подзвонив у 2юдвері
3. Ти подзвонив у 3юдвері

А тепер розглянемо всі варіанти, де може бути друг:

а. За Першийдверима
б. За Другийдверима
в. За 3ейдверима

Зіставимо всі варіанти як таблиці. Галочкою позначені варіанти, коли твій вибір збігається з місцем розташування друга, хрестиком - коли не збігається.

Як бачиш всього можливо варіантіврозташування друга і твого вибору, в які двері дзвонити.

А сприятливих результатів всього . Тобто рази з ти вгадаєш, зателефонувавши в двері, тобто. .

Це і є ймовірність - ставлення сприятливого результату (коли твій вибір збігся з розташуванням друга) до кількості можливих подій.

Визначення - і є формула. Імовірність прийнято позначати p, тому:

Таку формулу писати не дуже зручно, тому приймемо за кількість сприятливих результатів, а за загальну кількість результатів.

Імовірність можна записувати у відсотках, для цього потрібно помножити результат, що вийшов на:

Напевно, тобі кинулося у вічі слово «виходи». Оскільки математики називають різні дії (у нас така дія – це дзвінок у двері) експериментами, то результатом таких експериментів прийнято називати результат.

Ну а результати бувають сприятливі та несприятливі.

Повернімося до нашого прикладу. Припустимо, ми зателефонували в одне з дверей, але нам відкрив незнайомий чоловік. Ми не вгадали. Яка ймовірність, що якщо подзвонимо в одну з дверей, що залишилися, нам відкриє наш друг?

Якщо ти подумав, що це помилка. Давай розбиратись.

У нас залишилося два двері. Таким чином, у нас є можливі кроки:

1) Зателефонувати до 1-шудвері
2) Подзвонити в Другудвері

Друг, при цьому, точно знаходиться за однією з них (адже за тією, в яку ми дзвонили, його не виявилося):

а) Друг за 1-ийдверима
б) Друг за Другийдверима

Давай знову намалюємо таблицю:

Як бачиш, всього є варіанти, з яких – сприятливі. Тобто ймовірність дорівнює.

А чому ні?

Розглянута нами ситуація - приклад залежних подій.Перша подія – це перший дзвінок у двері, друга подія – це другий дзвінок у двері.

А залежними вони називаються, бо впливають на наступні дії. Адже якби після першого дзвінка у двері нам відчинив друг, то якою була б ймовірність того, що він перебуває за однією з двох інших? Правильно, .

Але якщо є залежні події, то мають бути і незалежні? Мабуть, бувають.

Хрестоматійний приклад – кидання монетки.

1. Кидаємо монету разів. Яка ймовірність того, що випаде, наприклад, орел? Правильно - адже варіантів всього (або орел, або решка, знехтуємо ймовірністю монетки стати на ребро), а влаштовує нас тільки.
2. Але випала решка. Гаразд, кидаємо ще раз. Яка ймовірність випадання орла? Нічого не змінилося, так само. Скільки варіантів? Два. А скільки нас влаштовує? Один.

І хай хоч тисячу разів поспіль випадатиме решка. Імовірність випадання орла на раз буде все також. Варіантів завжди, а сприятливих – .

Відрізнити залежні події від незалежних легко:

1. Якщо експеримент проводиться раз (якщо кидають монетку, 1 раз дзвонять у двері тощо), то події завжди незалежні.
2. Якщо експеримент проводиться кілька разів (монетку кидають раз, у двері дзвонять кілька разів), то перша подія завжди є незалежною. А далі, якщо кількість сприятливих чи кількість всіх наслідків змінюється, то події залежні, а якщо ні – незалежні.

Давай трохи потренуємось визначати ймовірність.

приклад 1.

Монетку кидають двічі. Яка ймовірність того, що двічі поспіль випаде орел?

Рішення:

Розглянемо всі можливі варіанти:

1. Орел-орел
2. Орел решка
3. Решка-орел
4. Решка-рішка

Як бачиш, всього варіанта. З них нас влаштовує лише. Тобто ймовірність:

Якщо в умові просять просто знайти ймовірність, то відповідь потрібно давати у вигляді десяткового дробу. Якщо було б зазначено, що відповідь потрібно дати у відсотках, тоді ми помножили б.

Відповідь:

приклад 2.

У коробці цукерок усі цукерки упаковані в однакову обгортку. Однак із цукерок - з горіхами, з коньяком, з вишнею, з карамеллю та з нугою.

Яка можливість, узявши одну цукерку, дістати цукерку з горіхами. Відповідь дайте у відсотках.

Рішення:

Скільки всього можливих наслідків? .

Тобто, взявши одну цукерку, вона буде однією з наявних у коробці.

А скільки сприятливих наслідків?

Тому що в коробці лише цукерок із горіхами.

Відповідь:

приклад 3.

У коробці куль. їх білі, - чорні.

1. Яка можливість витягнути білу кулю?
2. Ми додали до коробки ще чорних куль. Яка тепер можливість витягнути білу кулю?

Рішення:

а) У коробці всього куль. Із них білих.

Імовірність дорівнює:

б) Тепер куль у коробці стало. А білих залишилося стільки ж.

Відповідь:

Повна ймовірність

Імовірність всіх можливих подій дорівнює ().

Припустимо, у ящику червоних та зелених куль. Яка можливість витягнути червону кулю? Зелена куля? Червона чи зелена куля?

Імовірність витягнути червону кулю

Зелена куля:

Червона або зелена куля:

Як бачиш, сума всіх можливих подій дорівнює (). Розуміння цього моменту допоможе тобі вирішити багато завдань.

приклад 4.

У ящику лежить фломастерів: зелений, червоний, синій, жовтий, чорний.

Яка можливість витягнути не червоний фломастер?

Рішення:

Давай порахуємо кількість сприятливих результатів.

НЕ червоний фломастер, тобто зелений, синій, жовтий або чорний.

Імовірність того, що подія не станеться, дорівнює мінус ймовірність того, що подія відбудеться.

Правило множення ймовірностей незалежних подій

Що таке незалежні події, ти вже знаєш.

А якщо потрібно знайти ймовірність того, що дві (або більше) незалежні події відбудуться поспіль?

Допустимо ми хочемо знати, яка ймовірність того, що кидаючи монету рази, ми двічі побачимо орла?

Ми вже рахували - .

А якщо кидаємо монету разів? Яка можливість побачити орла рази поспіль?

Усього можливих варіантів:

1. Орел-орел-орел
2. Орел-орел-решка
3. Орел-рішка-орел
4. Орел-решка-решка
5. Решка-орел-орел
6. Решка-орел-решка
7. Решка-рішка-орел
8. Решка-решка-решка

Не знаю як ти, але я раз помилився, складаючи цей список. Ух! А підходить нам лише варіант (перший).

Для 5 кидків можеш скласти список можливих наслідків сам. Але математики не такі працьовиті, як ти.

Тому вони спочатку помітили, а потім довели, що ймовірність певної послідовності незалежних подій щоразу зменшується на ймовірність однієї події.

Іншими словами,

Розглянемо з прикладу тієї ж, злощасної, монетки.

Імовірність випадання орла у випробуванні? . Тепер ми кидаємо монету вкотре.

Яка можливість випадання разів поспіль орла?

Це правило працює не тільки, якщо нас просять знайти ймовірність того, що відбудеться одна і та сама подія кілька разів поспіль.

Якби ми хотіли знайти послідовність РІШКА-ОРЕЛ-РІШКА, при кидках поспіль, ми надійшли б також.

Імовірність випадання решка -, орла -.

Імовірність випадання послідовності РІШКА-ОРЕЛ-РІШКА-РІШКА:

Можеш перевірити сам, склавши таблицю.

Правило складання ймовірностей несумісних подій.

Так стоп! Нове визначення.

Давай розбиратись. Візьмемо нашу зношену монетку та кинемо її рази.
Можливі варіанти:

1. Орел-орел-орел
2. Орел-орел-решка
3. Орел-рішка-орел
4. Орел-решка-решка
5. Решка-орел-орел
6. Решка-орел-решка
7. Решка-рішка-орел
8. Решка-решка-решка

Отож несумісні події, це певна, задана послідовність подій. – це несумісні події.

Якщо хочемо визначити, яка ймовірність двох (чи більше) несумісних подій ми складаємо ймовірності цих подій.

Потрібно зрозуміти, що випадання орла чи решки – це дві незалежні події.

Якщо хочемо визначити, яка ймовірність випадання послідовності) (чи будь-який інший), ми користуємося правилом множення ймовірностей.
Яка ймовірність випадання при першому кидку орла, а при другому та третьому реші?

Але якщо хочемо дізнатися, яка ймовірність випадання однієї з кількох послідовностей, наприклад, коли орел випаде рівно раз, тобто. варіанти і, ми повинні скласти ймовірності цих послідовностей.

Усього варіантів, нам підходить.

Те саме ми можемо отримати, склавши ймовірності появи кожної послідовності:

Таким чином, ми складаємо ймовірності, коли хочемо визначити ймовірність деяких, несумісних послідовностей подій.

Є відмінне правило, що допомагає не заплутатися, коли множити, а коли складати:

Повернемося наприклад, коли ми підкинули монету рази, і хочемо дізнатися можливість побачити орла разів.
Що має статися?

Повинні випасти:
(Орел І решка І решка) АБО (решка І орел І решка) АБО (рішка І решка І орел).
Ось і виходить:

Давайте розглянемо кілька прикладів.

Приклад 5.

У коробці лежить олівці. червоних, зелених, помаранчевих та жовтих та чорних. Яка можливість витягнути червоний або зелений олівці?

Рішення:

Приклад 6.

Гральну кістку кидають двічі, якою є ймовірність того, що в сумі випаде 8 очок?

Рішення.

Як ми можемо отримати очки?

(і) або (і) або (і) або (і) або (і).

Імовірність випадання однієї (будь-якої) грані - .

Вважаємо ймовірність:

Тренування.

Думаю, тепер тобі стало зрозуміло, коли треба як рахувати ймовірності, коли їх складати, а коли множити. Чи не так? Давай трохи потренуємось.

Завдання:

Візьмемо карткову колоду, в якій карти, з них пік, хробаків, 13 треф та 13 бубон. Від туза кожної масті.

1. Яка можливість витягнути трефи поспіль (першу витягнуту карту ми кладемо назад у колоду і перемішуємо)?
2. Яка можливість витягнути чорну карту (піки або трефи)?
3. Яка можливість витягнути картинку (вальта, даму, короля чи туза)?
4. Яка можливість витягнути дві картинки поспіль (першу витягнуту карту ми прибираємо з колоди)?
5. Яка ймовірність, взявши дві карти, зібрати комбінацію - (валет, пані чи король) і туз Послідовність, у якій витягнуть карти, немає значення.

Відповіді:

Якщо ти зміг сам вирішити всі завдання, то великий молодець! Тепер завдання на теорію ймовірностей в ЄДІ ти клацатимеш як горішки!

ТЕОРІЯ ІМОВІРНОСТІ. СЕРЕДНІЙ РІВЕНЬ

Розглянемо приклад. Припустимо, ми кидаємо гральну кістку. Що це за така кістка, знаєш? Так називають кубик із цифрами на гранях. Скільки граней, стільки та цифр: від до скільки? До.

Отже, ми кидаємо кістку і хочемо, щоб випало чи. І нам випадає.

Теоретично ймовірностей кажуть, що сталося сприятлива подія(Не плутай з благополучним).

Якби випало, подія теж була б сприятливою. Разом може статися лише дві сприятливі події.

А скільки несприятливих? Раз всього можливих подій, значить, несприятливі з них події (це якщо випаде або).

Визначення:

Імовірністю називається відношення кількості сприятливих подій до кількості всіх можливих подій. Тобто можливість показує, яка частка з усіх можливих подій припадає на сприятливі.

Позначають можливість латинської буквою (мабуть, від англійського слова probability - можливість).

Прийнято вимірювати ймовірність у відсотках (див. тему , ). Для цього значення ймовірності потрібно множити. У прикладі з гральною кісткою імовірність.

На відсотках: .

Приклади (виріши сам):

1. З якою ймовірністю при киданні монетки випаде орел? А з якою ймовірністю випаде решка?
2. З якою ймовірністю при киданні гральної кістки випаде парне число? А з якою – непарне?
3. У ящику простих, синіх та червоних олівців. Навмання тягнемо один олівець. Яка можливість витягнути простий?

Рішення:

1. Скільки варіантів? Орел і решка – лише два. А скільки з них є сприятливими? Тільки один – орел. Отже, ймовірність

   З рішкою те саме: .

2. Усього варіантів: (скільки сторін у кубика, стільки й різних варіантів). Сприятливі з них: (це всі парні числа:).
   Імовірність. З непарними, природно, те саме.
3. Усього: . Сприятливих: . Можливість: .

Повна ймовірність

Усі олівці у ящику зелені. Яка можливість витягнути червоний олівець? Шансів немає: ймовірність (адже сприятливі події -).

Така подія називається неможливою.

А яка можливість витягнути зелений олівець? Сприятливих подій рівно стільки, скільки подій всього (всі події - сприятливі). Значить, ймовірність дорівнює чи.

Така подія називається достовірною.

Якщо в ящику зелених та червоних олівців, яка ймовірність витягнути зелений чи червоний? Знову ж. Зауважимо таку річ: можливість витягнути зелений дорівнює, а червоний - .

У сумі ці ймовірності рівні рівно. Тобто, сума ймовірностей всіх можливих подій дорівнює або.

Приклад:

У коробці олівців, у тому числі синіх, червоних, зелених, простих, жовтий, інші - оранжеві. Яка можливість не витягнути зелений?

Рішення:

Пам'ятаємо, що всі ймовірності у сумі дають. А можливість витягнути зелений дорівнює. Отже, можливість не витягнути зелений дорівнює.

Запам'ятай цей прийом:ймовірність того, що подія не відбудеться, дорівнює мінус ймовірність того, що подія відбудеться.

Незалежні події та правило множення

Ти кидаєш монетку разу, і хочеш, щоб обидва рази випав орел. Яка ймовірність цього?

Давай переберемо всі можливі варіанти та визначимо, скільки їх:

Орел-Орел, Решка-Орел, Орел-Рішка, Решка-Рішка. Які ще?

Усього варіанта. З них нам підходить лише один: Орел-Орел. Отже, ймовірність дорівнює.

Добре. А тепер кидаємо монету разів. Порахуй сам. Вийшло? (Відповідь).

Ти міг помітити, що з додаванням кожного наступного кидка можливість зменшується в рази. Загальне правило називається правилом множення:

Імовірності незалежних подій змінюються.

Що таке незалежні події? Все логічно: це ті, що не залежать один від одного. Наприклад, коли ми кидаємо монету кілька разів, щоразу робиться новий кидок, результат якого не залежить від усіх попередніх кидків. З таким самим успіхом ми можемо кидати одночасно дві різні монетки.

Ще приклади:

1. Гральну кістку кидають двічі. Яка ймовірність, що обидва рази випаде?
2. Монетку кидають рази. Яка ймовірність, що вперше випаде орел, а потім двічі решка?
3. Гравець кидає дві кістки. Яка ймовірність, що сума чисел на них дорівнюватиме?

Відповіді:

1. Події незалежні, отже, працює правило множення: .
2. Імовірність орла дорівнює. Імовірність решітки – теж. Перемножуємо:
3. 12 може вийти тільки, якщо випадуть дві-ки: .

Несумісні події та правило додавання

Несумісними називаються події, які доповнюють одна одну до ймовірності. З назви видно, що вони можуть статися одночасно. Наприклад, якщо кидаємо монету, може випасти або орел, або решка.

приклад.

У коробці олівців, у тому числі синіх, червоних, зелених, простих, жовтий, інші - оранжеві. Яка можливість витягнути зелений чи червоний?

Рішення .

Імовірність витягнути зелений олівець дорівнює. Червоний - .

Сприятливих подій: зелених + червоних. Отже, можливість витягнути зелений чи червоний дорівнює.

Цю ж можливість можна у вигляді: .

Це і є правило додавання:ймовірності несумісних подій складаються.

Завдання змішаного типу

приклад.

Монетку кидають двічі. Яка ймовірність того, що результат кидків буде різним?

Рішення .

Мається на увазі, якщо першим випав орел, другий має бути решка, і навпаки. Виходить, що тут дві пари незалежних подій і ці пари одна з одною несумісні. Як би не заплутатися, де множити, а де складати.

Існує просте правило для таких ситуацій. Спробуй описати, що має статися, поєднуючи події спілками «І» чи «АБО». Наприклад, у цьому випадку:

Повинні випасти (орел та решка) або (решка та орел).

Там де стоїть союз «і», буде множення, а там де «або» – додавання:

Спробуй сам:

1. З якою ймовірністю при двох киданнях монетки обидва рази випаде один і той же бік?
2. Гральну кістку кидають двічі. Яка ймовірність, що у сумі випаде очок?

Рішення:

Ще приклад:

Кидаємо монету рази. Яка ймовірність, що хоча б один раз випаде орел?

Рішення:

ТЕОРІЯ ІМОВІРНОСТІ. КОРОТКО ПРО ГОЛОВНЕ

Імовірність – це відношення кількості сприятливих подій до кількості всіх можливих подій.

Незалежні події

Дві події незалежні, якщо при настанні одного ймовірність наступу іншого не змінюється.

Повна ймовірність

Імовірність всіх можливих подій дорівнює ().

Імовірність того, що подія не станеться, дорівнює мінус ймовірність того, що подія відбудеться.

Правило множення ймовірностей незалежних подій

Імовірність певної послідовності незалежних подій дорівнює твору ймовірностей кожної з подій

Несумісні події

Несумісними називаються події, які не можуть статися одночасно в результаті експерименту. Ряд несумісних подій утворюють повну групу подій.

Імовірності несумісних подій складаються.

Описав що має статися, використовуючи спілки «І» чи «АБО», замість «І» ставимо знак множення, а замість «АБО» — додавання.

Ну ось, тема закінчена. Якщо ти читаєш ці рядки, значить ти дуже крутий.

Тому що лише 5% людей здатні освоїти щось самостійно. І якщо ти дочитав до кінця, то ти потрапив у ці 5%!

Тепер найголовніше.

Ти розібрався з теорією на цю тему. І, повторюся, це… це просто супер! Ти вже краще, ніж абсолютна більшість твоїх однолітків.

Проблема в тому, що цього не вистачить.

Для чого?

Для успішної здачі ЄДІ, для вступу до інституту на бюджет і, найголовніше, для життя.

Я не буду тебе ні в чому переконувати, просто скажу одну річ…

Люди, які здобули хорошу освіту, заробляють набагато більше, ніж ті, хто її не отримав. Це – статистика.

Але й це – не головне.

Головне те, що вони БІЛЬШЕ ЩАСЛИВІ (є такі дослідження). Можливо тому, що перед ними відкривається набагато більше можливостей і життя стає яскравішим? Не знаю...

Але, думай сам...

Що потрібно, щоб бути, напевно, кращим за інших на ЄДІ і бути зрештою… більш щасливим?

Набити руку, вирішуючи завдання за цією темою.

На іспиті в тебе не питатимуть теорію.

Тобі треба буде вирішувати завдання на якийсь час.

І, якщо ти не вирішував їх (Багато!), ти обов'язково десь безглуздо помилишся або просто не встигнеш.

Це як у спорті – потрібно багато разів повторити, щоби виграти напевно.

Знайди де хочеш збірку, обов'язково з рішеннями, докладним розборомі вирішуй, вирішуй, вирішуй!

Можна скористатися нашими завданнями (не обов'язково), і ми їх, звичайно, рекомендуємо.

Для того, щоб набити руку за допомогою наших завдань, потрібно допомогти продовжити життя підручнику YouClever, який ти зараз читаєш.

Як? Є два варіанта:

1. Відкрий доступ до всіх прихованих завдань у цій статті 299 руб.
2. Відкрий доступ до всіх прихованих завдань у всіх 99 статтях підручника. 499 руб.

Так, у нас у підручнику 99 таких статей та доступ для всіх завдань та всіх прихованих текстів у них можна відкрити одразу.

Доступ до всіх прихованих завдань надається на весь час існування сайту.

І на закінчення...

Якщо наші завдання тобі не подобаються, то знайди інші. Тільки не зупиняйся на теорії.

"Зрозумів" і "Вмію вирішувати" - це зовсім різні навички. Тобі потрібні обидва.

Знайди завдання та вирішуй!