Площа багатокутника формули з різними сторонами. Площа багатокутника

\[(\Large(\text(Основні факти про площу)))\]

Можна сказати, що площа багатокутника - це величина, що позначає частину площини, яку займає багатокутник. За одиницю виміру площі приймають площу квадрата зі стороною (1) см, (1) мм і т.д. (Поодинокий квадрат). Тоді площа буде вимірюватися в см(^2\) , мм(^2\) відповідно.

Інакше кажучи, можна сказати, площа фігури - це величина, чисельне значення якої показує, скільки разів одиничний квадрат вміщається у цій фігурі.

Властивості площі

1. Площа будь-якого багатокутника – величина позитивна.

2. Рівні багатокутники мають рівні площі.

3. Якщо багатокутник складений із кількох багатокутників, його площа дорівнює сумі площ цих багатокутників.

4. Площа квадрата зі стороною $a$ дорівнює $a^2$.

\[(\Large(\text(Площа прямокутника і паралелограма)))]]

Теорема: площа прямокутника

Площа прямокутника зі сторонами (a) і (b) дорівнює (S = ab).

Доведення

Добудуємо прямокутник $ABCD$ до квадрата зі стороною $a+b$, як показано на малюнку:

Даний квадрат складається з прямокутника $ABCD$, ще одного рівного йому прямокутника і двох квадратів зі сторонами $a$ і $b$. Таким чином,

$\begin(multline*) S_(a+b)=2S_(\text(пр-к))+S_a+S_b \Leftrightarrow (a+b)^2=2S_(\text(пр-к))+ a^2+b^2 \Leftrightarrow\\ a^2+2ab+b^2=2S_(text(пр-к))+a^2+b^2 \Rightarrow S_(\text(пр-к) )=ab \end(multline*)$

Визначення

Висота паралелограма - це перпендикуляр, проведений з вершини паралелограма до сторони (або продовження сторони), що не містить цієї вершини.
Наприклад, висота $BK$ падає на бік $AD$ , а висота $BH$ - на продовження сторони $CD$ :

Теорема: площа паралелограма

Площа паралелограма дорівнює добутку висоти та сторони, до якої проведена ця висота.

Доведення

Проведемо перпендикуляри $AB"$ та $DC"$, як показано на малюнку. Зауважимо, що ці перпендикуляри дорівнюють висоті паралелограма (ABCD).

Тоді $AB"C"D$ – прямокутник, отже, $S_(AB"C"D)=AB"\cdot AD$ .

Зауважимо, що прямокутні трикутники $ABB"$ та $DCC"$ рівні. Таким чином,

$S_(ABCD)=S_(ABC"D)+S_(DCC")=S_(ABC"D)+S_(ABB")=S_(AB"C"D)=AB"\cdot AD.$

\[(\Large(\text(Площа трикутника)))\]

Визначення

Будемо називати сторону, до якої в трикутнику проведена висота, основою трикутника.

Теорема

Площа трикутника дорівнює половині добутку його основи на висоту, проведену до цієї основи.

Доведення

Нехай $S$ - площа трикутника $ABC$. Приймемо сторону $AB$ за основу трикутника і проведемо висоту $CH$. Доведемо, що \ Добудуємо трикутник $ABC$ до паралелограма $ABDC$ так, як показано на малюнку:

Трикутники $ABC$ і $DCB$ рівні по трьох сторонах ($BC$ – їх спільна сторона, $AB = CD$ та $AC = BD$ як протилежні сторони паралелограма $ABDC$ )), тому їх площі рівні. Отже, площа $S$ трикутника $ABC$ дорівнює половині площі паралелограма $ABDC$, тобто $S = \dfrac(1)(2)AB\cdot CH$.

Теорема

Якщо два трикутники $\triangle ABC$ і $\triangle A_1B_1C_1$ мають рівні висоти, їх площі відносяться як підстави, до яких ці висоти проведені.

Слідство

Медіана трикутника ділить його на два трикутники, рівних за площею.

Теорема

Якщо два трикутники $\triangle ABC$ і $\triangle A_2B_2C_2$ мають по рівному куту, їх площі відносяться як твори сторін, що утворюють цей кут.

Доведення

Нехай $\angle A = angle A_2$ . Сумісний ці кути так, як показано на малюнку (точка $A$ суміщалася з точкою $A_2$ ):

Проведемо висоти (BH) і (C_2K).

Трикутники $AB_2C_2$ і $ABC_2$ мають однакову висоту $C_2K$ , отже: \[\dfrac(S_(AB_2C_2))(S_(ABC_2))=\dfrac(AB_2)(AB)\]

Трикутники $ABC_2$ і $ABC$ мають однакову висоту $BH$ , отже: \[\dfrac(S_(ABC_2))(S_(ABC))=\dfrac(AC_2)(AC)\]

Перемножуючи останні дві рівності, отримаємо: \[\dfrac(S_(AB_2C_2))(S_(ABC))=\dfrac(AB_2\cdot AC_2)(AB\cdot AC) \qquad \text( або ) \qquad \dfrac(S_(A_2B_2C_2))(S_ (ABC))=\dfrac(A_2B_2\cdot A_2C_2)(AB\cdot AC)\]

теорема Піфагора

У прямокутному трикутнику квадрат довжини гіпотенузи дорівнює сумі квадратів довжин катетів:

Правильне і обернене: якщо в трикутнику квадрат довжини однієї сторони дорівнює сумі квадратів довжин інших двох сторін, то такий трикутник прямокутний.

Теорема

Площа прямокутного трикутника дорівнює половині добутку катетів.

Теорема: формула Герона

Нехай $p$ - напівпериметр трикутника, $a$ , $b$ , $c$ - довжини його сторін, тоді його площа дорівнює \

\[(\Large(\text(Площа ромба та трапеції)))]

Зауваження

Т.к. ромб є паралелограмом, то йому правильна та сама формула, тобто. площа ромба дорівнює добутку висоти та сторони, до якої проведена ця висота.

Теорема

Площа опуклого чотирикутника, діагоналі якого перпендикулярні, дорівнює половині добутку діагоналей.

Доведення

Розглянемо чотирикутник (ABCD). Позначимо (AO = a, CO = b, BO = x, DO = y) :

Зауважимо, що даний чотирикутник складений із чотирьох прямокутних трикутників, отже, його площа дорівнює сумі площ цих трикутників:

$\begin(multline*) S_(ABCD)=\frac12ax+\frac12xb+\frac12by+\frac12ay=\frac12(ax+xb+by+ay)=\frac12((a+b)x+(a+b) y)=\frac12(a+b)(x+y)\end(multline*)$

Наслідок: площа ромба

Площа ромба дорівнює половині твору його діагоналей: \

Визначення

Висота трапеції – це перпендикуляр, проведений з вершини однієї основи до іншої основи.

Теорема: площа трапеції

Площа трапеції дорівнює добутку напівсуми підстав на висоту.

Доведення

Розглянемо трапецію $ABCD$ з основами $BC$ і $AD$. Проведемо $CD"\parallel AB$, як показано на малюнку:

Тоді (ABCD ") - паралелограм.

Проведемо також $BH"\perp AD, CH\perp AD$ ($BH"=CH$ - висоти трапеції).

Тоді $S_(ABCD")=BH"\cdot AD"=BH"\cdot BC, \quad S_(CDD")=\dfrac12CH\cdot D"D$

Т.к. трапеція складається з паралелограма $ABCD"$ і трикутника $CDD"$ , то її площа дорівнює сумі площ паралелограма та трикутника, тобто:

\ \[=\dfrac12 CH\left(BC+AD"+D"D\right)=\dfrac12 CH\left(BC+AD\right)\]

Все, що має більше двох кутів, є багатокутником, у тому числі трикутником. Розглянемо, як знайти площу багатокутників.

Як знайти площу багатокутника – трикутник

S = 1/2×h×b де h – висота, а b – сторона.
S = 1/2 a×b×sinα, де а та b – сторони трикутника, а sinα – синус кута між ними.
S = √p×(p-a)×(p-b)×(p-c), де p – половина периметра, а, b, c – сторони. Якщо відомі всі сторони трикутника, то знайти площу можна саме за цією формулою.
S = r×p, де r – радіус вписаного кола, а p – половина периметра. Якщо трикутник вписано коло, то знаходження площі можна використовувати цю формулу.
S = abc/4R, де a, b, c – сторони трикутника, а R – радіус описаного кола. Якщо трикутник вписаний у коло, можна знайти цю формулу для знаходження площі трикутника.

Прямокутний трикутник

S = 1/2×ab, де a та b – катети прямокутного трикутника.
S = d×e, де d та e відрізки гіпотенузи, утворені при дотику до вписаного кола про гіпотенузу.
S = (p-a)×(p-b), де p – половина периметра, а і b – катети.

Рівнобедрений трикутник

S = 1/2×a²×sina, де а – стегно трикутника, sina ж – кут між стегнами.
S = b²/4tgα/2, де b – основа трикутника, а tgα – кут між стегнами.

Рівносторонній трикутник

S = √3×a²/4, де а – сторона трикутника (будь-яка, тому що в рівносторонньому трикутнику всі сторони рівні).
S = 3√3×R²/4, де R – радіус кола, в яке вписано трикутник.
S = 3√3×r², де r – радіус кола, яке вписано у трикутник.
S = h²/√3 де h – висота рівностороннього трикутника.

Як знайти площу багатокутника – квадрат

S = a², а – сторона квадрата. Так як усі сторони квадрата рівні, достатньо помножити одну його сторону на іншу.
S = d²/2 де d – діагональ квадрата.

Як знайти площу багатокутника – прямокутник

S = a×b, де a та b – сторони прямокутника. Так як протилежні сторони в прямокутнику рівні, достатньо помножити одну його сторону (довжину) на протилежну, перпендикулярну сторону (ширину).
S = a²+b²=c², де a – ширина, b – довжина, а c – діагональ. Діагональ ділить прямокутник на два прямокутні трикутники і якщо в умові задачі дана одна сторона прямокутника та його діагональ, нескладно буде знайти і третю сторону, використовуючи теорему Піфагора. Після того, як ми знайдемо цей бік, шукаємо площу за стандартною формулою a×b. Приклад: Ширина прямокутника – 3см, діагональ – 5 см. Знайти площу. Пишемо 3? + x? = 5?. x² = 16 => x = 4. S = a x b = 3 x 4 = 12. Відповідь: S прямокутника = 12см²

Як знайти площу багатокутника – трапеція

S = (a+b)×h/2, де a – маленька, b – велика основа трапеції, h – висота.
S = h×m, де h – висота, m – середня лінія трапеції, що дорівнює половині суми підстав – 1/2×(a+b).
S = 1/2×d1×d2×sinα, де d1 та d2 – діагоналі трапеції, а sinα – синус кута між ними.
S = a+b/2×√c²-((b-a)²+c²-d²/2(b-a))², де a та b – підстави трапеції, c та d – інші дві сторони.

Рівностегнова трапеція

S = 4r²/sinα, де r – радіус вписаного кола, а sinα – синус кута між стороною та основою.

Площа правильного багатокутника

S = r×p = 1/2×r×n×a, де r – радіус вписаного кола, p – половина периметра. Для того щоб знайти площу будь-якого правильного багатокутника, потрібно розбити його на рівні трикутники із загальною вершиною в центрі вписаного кола.
S = n×a²/4tg(360°/2n), де n – число сторін правильного багатокутника, а – довжина сторони.
Також обчислити площу правильного багатокутника допоможе даний онлайн сервіс. Просто вставте потрібне значення та отримайте відповідь.

Площа неправильного багатокутника

Площу неправильного багатокутника можна знайти за допомогою координат його вершин. Якщо за умови завдання дано вищезгадані координати, то виконуємо наступне:

Складаємо таблицю вказуючи букву, що позначає вершину та відповідні координати (x; y).
Помножуємо значення xоднієї вершини на значення yдругий і таке інше.
Складаємо все значення, отримуємо якесь число.

Складаємо таку таблицю, за таким же принципом множимо yкоординату однієї вершини на xкоординату другий, складаємо значення, що вийшло.

Від суми значень першої таблиці забираємо суму значень другої таблиці.

Отримане число ділимо на 2 і цим знаходимо площу неправильного багатокутника.

Така фігура неодмінно характеризуватиметься двома положеннями:

Сумежні сторони не належать до однієї прямої.
У несуміжних відсутні спільні точки, тобто вони не перетинаються.

Щоб зрозуміти, які вершини є сусідніми, потрібно подивитися, чи вони належать одній стороні. Якщо так, то сусідні. В іншому випадку їх можна буде з'єднати відрізком, який слід назвати діагоналлю. Їх можна провести лише у багатокутниках, у яких більше трьох вершин. Які їхні види існують? Багатокутник, у якого більше чотирьох кутів, може бути опуклим або увігнутим. Відмінність останнього в тому, що деякі його вершини можуть лежати з різних боків від прямої, проведеної через довільну сторону багатокутника.

Площа багатокутника

Розрахунок площі Багатокутника, використовуючи радіус вписаного кола і довжину сторони:[ (A×P)/2 ][ Apothem(A) = side/(2×Tan(π/N)) ] Введіть довжину = Введіть кількість сторін = Площа Багатокутника = Розрахунок площі по довжині сторони: Площа Багатокутника = ((side)² * N) / (4Tan(π / N))Периметр Багатокутника = N * (side) Розрахунок площі по радіусу описаного кола: Площа Багатокутника = ½ * R² * Sin(2π / N) Розрахунок площі по радіусу вписаного кола: Площа Багатокутника = A² * N * Tan (π / N) де, A = R * Cos (π / N) По радіусу вписаного кола і довжині сторони: Площа багатокутника = ( A * P) / 2де A = сторона / (2 * Tan (π / N)) де,

N = Кількість сторін,
A = Радіус вписаного кола,
R = Радіус описаної орудності,
P = Периметр

Приклади: Завдання 1: Знайдіть площу та периметр багатокутника, якщо довжина сторони = 2 та кількість сторін = 4.

Площа правильного багатокутника

З неї легко отримати таку, яка стане в нагоді для окремих випадків:

трикутника: S = (3√3)/4 * R2;
квадрата: S = 2*R2;
шестикутника: S = (3√3)/2 * R2.

Ситуація з неправильною фігурою Виходом для того, як дізнатися площу багатокутника, якщо він не є правильним і його не можна віднести до жодної з відомих раніше фігур, є алгоритм:

розбити його на прості фігури, наприклад трикутники, щоб вони не перетиналися;
обчислити їх площі за будь-якою формулою;
скласти усі результати.

Що робити, якщо завдання задані координати вершин багатокутника? Тобто відомий набір пар чисел для кожної точки, які обмежують сторони фігури.

Зазвичай вони записуються як (x1; y1) для першої, (x2; y2) - для другої, а n-а вершина має такі значення (xn; yn).

Площа та периметр багатокутника

Тоді площа багатокутника визначається як сума n доданків.

Увага

Кожна з них має такий вигляд: ((yi+1 +yi)/2) * (xi+1 — xi).

У цьому вся виразі i змінюється від одиниці до n. Слід зазначити, що знак результату залежатиме від обходу фігури.
При використанні зазначеної формули та руху за годинниковою стрілкою відповідь буде негативною.

Приклад завдання Умови. Координати вершин задані такими значеннями (0.6; 2.1), (1.8; 3.6), (2.2; 2.3), (3.6; 2.4), (3.1; 0.5).

Інфо

Потрібно обчислити площу багатокутника. Рішення.

За формулою, зазначеною вище, перший доданок буде дорівнює (1.8 + 0.6) / 2 * (3.6 - 2.1). Тут потрібно просто взяти значення для грека та ікса від другої та першої крапок. Нескладний розрахунок спричинить результат 1.8. Другий доданок аналогічно виходить: (2.2 + 1.8) / 2 * (2.3 - 3.6) = -2.6. При вирішенні подібних завдань не варто лякатися негативних величин.
Все йде так, як треба.
Крок 1: Знайдемо радіус вписаного кола. А = R * Cos (π / N) = 2 * Cos (3.14 / 5) = 2 * Cos (0.63) = 2 * 0.81 Знайдемо площу.Площа = A² * N * Tan (π / N) = 1.62 ² * 5 * Tan (3.14 / 5) = 2.62 * 5 * Tan (0.63) = 13.1 * 0.73 Площа = 9.5. Задача 4: Знайти площу багатокутника використовуючи Апофему (радіус вписаного кола), якщо довжина сторони дорівнює 2, а кількість сторін 5.Step 1: Знайдемо Апофему.Апофема = довжина сторони / (2 * Tan(π / N)) = 2 / ( 2 * Tan (π / 4)) = 2 / (2 * Tan (0.785)) = 2 / (2 * 0.999) = 2 / 1.998 Апофема (А) = 1. Крок 2: Знайдемо периметр.Періметр (P) = (N * (довжина сторони) = 4 * 2 = 8 Крок 3: Знайдемо площу. Площа = (A * P) / 2 = (1 * 8) / 2 = 8 / 2 Площа = 4.

Наведені вище приклади показують, як обчислити площу та периметр багатокутника вручну.

Правильний багатокутник

S tan⁡〖(180°)/n〗)/n)/2 tan⁡〖(180°)/n〗=√(S/(n tan⁡〖(180°)/n〗)) R=a/ (2 sin⁡〖(180°)/n〗)=√((4S tan⁡〖(180°)/n〗)/n)/2 sin⁡〖(180°)/n〗=√(S/( n cos⁡〖(180°)/n〗)) Обчислити периметр правильного багатокутника через площу можливо, якщо уявити його у вигляді добутку кількості сторін n на отриманий замість сторони радикал, а потім спростити вираз, внісши n під корінь. P=na=n√((4S tan⁡〖(180°)/n〗)/n)=√(4nS tan⁡〖(180°)/n〗) Кут правильного багатокутника можна обчислити за формулою, яка має лише одну змінну – кількість сторін фігури, тому потребує жодних змін.

Калькулятор площі багатокутника

Підставляючи замість n кількість сторін фігури можна отримати формулу визначення площі будь-якого правильного полігону, яка буде площа квадрата a^2, помноженого на певний коефіцієнт.

Цікаво, що зі збільшенням кількості кутів цей коефіцієнт також збільшуватиметься, наприклад, для пентагону - 1,72, а гексагону - 2,59. Оскільки біля будь-якого правильного полігону можна описати коло або вписати його до нього, ми можемо використовувати відповідні радіуси для обчислення площ багатокутників.

Сторона та радіус описаного кола для будь-якого полігону співвідносяться як: a = R × 2 sin (pi/n), де R – радіус описаного кола, n – кількість сторін геометричної фігури.

Для вписаного в полігон кола співвідношення трохи змінюється і виглядає як: a = r × 2 tg (pi/n), де r – радіус вписаного кола.

Як розрахувати площу правильного багатокутника

Приклад багатокутника Даний калькулятор обчислює площу багатокутника по введених сторонах і діагоналях, що розбивають багатокутник на трикутники, що не перетинаються.

Дивимося на картинку - площу багатокутника ABCDE можна обчислити як суму площ трикутників ABD, BCD та ADE.

Для цього, зрозуміло, крім довжин сторін багатокутника, треба знати ще й довжини діагоналей BD і AD, але це і все, що потрібно - площу будь-якого трикутника можна обчислити тільки по довжинах сторін, без вимірювання кутів.

А це досить зручно, наприклад, при побутовому ремонті - довжини всяко простіше поміряти, ніж кути.

Отже, вимірюємо довжини сторін багатокутника, що цікавить нас, заносимо їх в таблицю, подумки розбиваємо багатокутник на трикутники, вимірюваємо потрібні діагоналі, також заносимо їх в таблицю, після чого калькулятор розраховує площу всієї фігури.

Як дізнатися площу багатокутника?

Як поводитися з правильним багатокутником, у якого більше чотирьох вершин? Для початку така фігура характеризується тим, що у ній усі сторони рівні. Плюс до цього, багатокутник має однакові кути. Якщо навколо такої фігури описати коло, то її радіус збігатиметься з відрізком від центру багатокутника до однієї з вершин. Тому для того щоб обчислити площу правильного багатокутника з довільним числом вершин, знадобиться така формула: Sn = 1/2 * n * Rn2 * sin (360º/n), де n - кількість вершин багатокутника.
Таким чином, для визначення площі будь-якого правильного полігону вам знадобиться вказати кількість сторін n та будь-який параметр на вибір:

довжина сторони a;
радіус вписаного кола r;
радіус описаного кола R.

Розглянемо кілька прикладів для знаходження площі будь-якого багатокутника.

Бджолині стільники - унікальний природний об'єкт, який складається з безлічі гексагональних призматичних осередків.

Давайте підрахуємо скільки таких шестикутників знаходиться в одних сотах.

Для цього нам потрібно дізнатися загальну площу та площу одного осередку.

З Вікіпедії ми знаємо, що стандартна рамка для сот має розміри 435 х 300 мм, відповідно, загальна площа становить 130 500 квадратних міліметрів.

Там же зазначено, що горизонтальний діаметр одного осередку становить приблизно 5,5 мм.

Діагональ 2 Кут α ($ main.angles $) Кут β ($ main.angles $) Введіть будь-які 3 величини Сторона A Сторона B Висота ha Висота hb Діагональ 1 Діагональ 2 Кут α ($ main.angles $) Кут β ($ main .angles $) Введіть будь-які 3 величини Основа A Основа C Висота H Доповніть бічні сторони для пошуку периметра Сторона B Сторона D Введіть 1 величину Сторона A Радіус описаного кола (R) Радіус вписаного кола (r) Кількість сторін багатокутника Введіть 1 величину Сторона A Радіус описаного кола (R) Радіус вписаного кола (r) Введіть 1 величину Сторона A = радіуса описаного кола (R) Радіус вписаного кола (r) Результат розрахунку

Периметр: ($ result.p|number:4 $)
Площа: ($ result.s|number:4 $)

Багатокутник або полігон – геометрична фігура, яка має n-ну кількість кутів.
Загалом багатокутник - це частина площини, яка обмежена замкненою ламаною.

Геометрія багатокутників Загалом така геометрична фігура може мати абсолютно будь-який вигляд.

Наприклад, символи зірки та компасу, полігон для моделювання або грань шестерні – багатокутники.

Багатокутні фігури поділяються на дві групи:

неопуклі, які мають будь-яку химерну форму з можливими самоперетинами (найочевидніший приклад - зірка);
опуклі, всі точки яких знаходяться по одну сторону від прямої, проведеної через дві сусідні вершини (квадрат, трикутник).

Випуклий полігон, у якого всі кути рівні та всі сторони рівні, вважається правильним і має власну назву.

У задачах геометрії часто потрібно обчислити площу багатокутника. Причому може мати досить різноманітну форму - від усім знайомого трикутника до деякого n-кутника з якимось неймовірним числом вершин. До того ж ці багатокутники бувають опуклими чи увігнутими. У кожній конкретній ситуації потрібно відштовхуватися від зовнішнього вигляду фігури. Так вдасться вибрати оптимальний шлях розв'язання задачі. Фігура може виявитися правильною, що спростить вирішення завдання.

Трохи теорії про багатокутники

Якщо провести три або більше прямих, що перетинаються, то вони утворюють деяку фігуру. Саме вона є багатокутником. За кількістю точок перетину стає зрозумілим, скільки вершин у нього буде. Вони дають назву фігурі, що вийшла. Це може бути:

Така фігура неодмінно характеризуватиметься двома положеннями:

Сумежні сторони не належать до однієї прямої.
У несуміжних відсутні спільні точки, тобто вони не перетинаються.

Які їхні види існують?

Багатокутник, у якого більше чотирьох кутів, може бути опуклим або увігнутим. Відмінність останнього в тому, що деякі його вершини можуть лежати з різних боків від прямої, проведеної через довільну сторону багатокутника. У опуклі завжди всі вершини лежать з одного боку від такої прямої.

У шкільному курсі геометрії більшість часу приділяється саме опуклим фігурам. Тому в завданнях потрібно дізнатися площу опуклого багатокутника. Тоді існує формула через радіус описаного кола, що дозволяє знайти потрібну величину для будь-якої фігури. В інших випадках однозначного рішення немає. Для трикутника формула одна, а для квадрата чи трапеції зовсім інші. У ситуаціях, коли фігура неправильна або вершин дуже багато, прийнято розділяти їх на прості та знайомі.

Як вчинити, якщо фігура має три чи чотири вершини?

У першому випадку він виявиться трикутником, і можна скористатися однією з формул:

S = 1/2 * а * н, де а – сторона, н – висота до неї;
S = 1/2 * а * в * sin (А), де а, в - сторони трикутника, А - кут між відомими сторонами;
S = √(p * (p - а) * (p - в) * (p - с)), де с - сторона трикутника, до вже позначених двох, р - напівпериметр, тобто сума всіх трьох сторін, розділена на два .

Фігура з чотирма вершинами може виявитися паралелограмом:

S = а * н;
S = 1/2 * d 1 * d 2 * sin(α), де d 1 і d 2 - діагоналі, α - кут між ними;
S = a * * sin(α).

Формула для площі трапеції: S = н * (a + в) / 2, де а і в - Довжини основ.

Як поводитися з правильним багатокутником, у якого більше чотирьох вершин?

Для початку така фігура характеризується тим, що у ній усі сторони рівні. Плюс до цього, багатокутник має однакові кути.

Якщо навколо такої фігури описати коло, то її радіус збігатиметься з відрізком від центру багатокутника до однієї з вершин. Тому для того, щоб обчислити площу правильного багатокутника з довільним числом вершин, знадобиться така формула:

S n = 1/2 * n * R n 2 * sin (360º/n), де n - кількість вершин багатокутника.

З неї легко отримати таку, яка стане в нагоді для окремих випадків:

трикутника: S = (3√3)/4 * R 2;
квадрата: S = 2 * R 2;
шестикутника: S = (3√3)/2 * R 2 .

Ситуація із неправильною фігурою

Виходом для того, як дізнатися площу багатокутника, якщо він не є правильним і його не можна віднести до жодної з відомих раніше фігур, є алгоритм:

розбити його на прості фігури, наприклад трикутники, щоб вони не перетиналися;
обчислити їх площі за будь-якою формулою;
скласти усі результати.

Що робити, якщо завдання задані координати вершин багатокутника?

Тобто відомий набір пар чисел для кожної точки, які обмежують сторони фігури. Зазвичай вони записуються як (x 1 ; y 1) для першої, (x 2 ; y 2) - для другої, а n-а вершина має такі значення (x n ; y n). Тоді площа багатокутника визначається як сума n доданків. Кожне з них має такий вигляд: ((y i+1 +y i)/2) * (x i+1 - x i). У цьому вся виразі i змінюється від одиниці до n.

Слід зазначити, що знак результату залежатиме від обходу фігури. При використанні зазначеної формули та руху за годинниковою стрілкою відповідь буде негативною.

Приклад завдання

Умови. Координати вершин задані такими значеннями (0.6; 2.1), (1.8; 3.6), (2.2; 2.3), (3.6; 2.4), (3.1; 0.5). Потрібно обчислити площу багатокутника.

Рішення. За формулою, зазначеною вище, перший доданок буде дорівнює (1.8 + 0.6) / 2 * (3.6 - 2.1). Тут потрібно просто взяти значення для грека та ікса від другої та першої крапок. Нескладний розрахунок спричинить результат 1.8.

Другий доданок аналогічно виходить: (2.2 + 1.8) / 2 * (2.3 - 3.6) = -2.6. При вирішенні подібних завдань не варто лякатися негативних величин. Все йде так, як треба. Це є планомірним.

Подібним чином виходять значення третього (0.29), четвертого (-6.365) і п'ятого доданків (2.96). Тоді підсумкова площа дорівнює: 1.8 + (-2.6) + 0.29 + (-6.365) + 2.96 = – 3.915.

Порада щодо вирішення задачі, для якої багатокутник зображений на папері в клітку

Найчастіше спантеличує те, що у даних є лише розмір клітини. Але виявляється, що більше інформації не потрібно. Рекомендацією до вирішення такої задачі є розбивання фігури на множину трикутників і прямокутників. Їхні площі досить просто порахувати по довжинах сторін, які потім легко скласти.

Але часто є простіший підхід. Він у тому, щоб домалювати фігуру до прямокутника і визначити значення його площі. Потім порахувати площі тих елементів, які виявилися зайвими. Відняти їх із загального значення. Цей варіант часом передбачає дещо менше дій.

Вміст:

Дуже легко обчислити площу правильного трикутника (це багатокутник!) і дуже непросто зробити це у разі неправильного одинадцятикутника (це теж багатокутник!). Ця стаття розповість вам, як обчислювати площу різних багатокутників.

Кроки

1 Обчислення площі правильного багатокутника з апофеми

1 Формула для знаходження площі правильного багатокутника:Площа = 1/2 x периметр x апофема.
- Периметр – сума сторін багатокутника.
- Апофема - відрізок, що з'єднує центр багатокутника і середину будь-якої з його сторін (апофема перпендикулярна до сторони).
2 Знайдіть апофему.Вона, зазвичай, дана за умови завдання. Наприклад, дано шестикутник, апофема якого дорівнює 10√3.
3 Знайдіть периметр.Якщо периметр не дано за умови завдання, його можна знайти за відомою апофеме.
- Шестикутник можна розбити на 6 рівносторонніх трикутників. Апофема ділить одну сторону навпіл, створюючи прямокутний трикутник із кутами 30-60-90 градусів.
- У прямокутному трикутнику сторона, що протилежить куту 60 градусів, дорівнює x√3; куті 30 градусів дорівнює «х»; куті 90 градусів дорівнює 2x. Якщо значення сторони x3 дорівнює 103, то х = 10.
- "х" - це половина довжини основи трикутника. Подвайте її і знайдете повну довжину основи. У нашому прикладі основа трикутника дорівнює 20 одиниць. У свою чергу основа трикутника є стороною шестикутника. Отже, периметр шестикутника дорівнює 20 x 6 = 120.
4 Підставте значення апофеми та периметра у формулу.У нашому прикладі:
- площа = 1/2 х 120 х 10√3
- площа = 60 х 10√3
- площа = 600√3
5 Спростіть відповідь.Можливо, вам доведеться записати відповідь у вигляді десяткового дробу (тобто позбутися кореня). За допомогою калькулятора знайдіть √3 та отримане число помножте на 600: √3 х 600 = 1039,2. Це ваша остаточна відповідь.

2 Обчислення площі правильного багатокутника за іншими формулами

1 . Формула: Площа = 1/2 х основа х висота.
- Якщо вам дано трикутник з основою 10 і висотою 8, його площа = 1/2 х 8 х 10 = 40.
2 . Щоб знайти площу квадрата, просто зведіть у квадрат довжину однієї його сторони. Якщо помножити основу квадрата на його висоту, ми отримаємо ту саму відповідь, оскільки основа та висота рівні.
- Якщо сторона квадрата дорівнює 6, його площа = 6 х 6 = 36.
3 . Формула: Площа = довжина x ширина.
- Якщо довжина прямокутника дорівнює 4, а ширина дорівнює 3, його площа = 4 х 3 = 12.
4 . Формула: Площа = [(підстава1 + основа2) х висота] / 2.
- Наприклад, дана трапеція з основами 6 і 8 та висотою 10. Її площа = [(6 + 8) 10]/2 = (14 х 10)/2 = 140/2 = 70.

3 Обчислення площі неправильного багатокутника

1 Використовуйте координати вершин неправильного багатокутника.Знаючи координати вершин, можна визначити площу неправильного багатокутника.
2 Зробіть таблицю.Запишіть координати вершин (х,у) (вершини вибирати послідовно проти годинникової стрілки). Наприкінці списку ще раз напишіть координату першої вершини.
3 Помножте значення координати "х" першої вершини на значення координати "у" другої вершини (і так далі).Складіть результати (у прикладі сума дорівнює 82).
4 Помножте значення координати у першої вершини на значення координати x другої вершини (і так далі).Складіть результати (у прикладі сума дорівнює -38).
5 Відніміть суму, отриману у кроці 4, із суми, отриманої у кроці 3.У прикладі: (82) - (-38) = 120.
6 Розділіть отриманий результат на 2, щоб знайти площу багатокутника: S = 120/2 = 60 (квадратних одиниць).

Якщо ви записуєте координати вершин у напрямку за годинниковою стрілкою, ви отримаєте негативну площу. Таким чином, це можна використовувати для опису циклу або послідовності набору вершин, що формують багатокутник.
Ця формула знаходить площу з урахуванням форми багатокутника. Якщо багатокутник має форму цифри 8, необхідно з площі з вершинами проти годинникової стрілки відняти площу з вершинами за годинниковою стрілкою.