Египет — таинственная цивилизация. Пирамида без сомнений является одним из главных артефактов этой страны. Когда мы видим на картинках изображение этого сооружения, понимаем, что речь идет об Египте, фараонах, мистике, туристах и путешествиях. Каждый художник в рисунке выражает свои мысли. Поэтому в этом уроке мы научимся геометрически точно изображать многогранник, рисовать статуи у её входа и египетскую природу.

Рисуем карандашом

Для начала мы узнаем, как нарисовать пирамиду карандашом.

Нарисуем треугольник.

Из верхнего угла проведем линию к любой точке на его основании. От того, в каком месте линия будет пересекать основание, будет зависеть итоговый ракурс, с которого зритель смотрит на многогранник.

К отрезку, оставшемуся внизу, построим две линии от правого и левого углов.

Уберем нижнее горизонтальное ребро, которое находится внутри и зритель не может его видеть. Получится вот так:

Добавим цвет и текстуру, её можно показать образно, в некоторых местах. Так будет понятно, что сооружение сделано из кирпича.

Поэтапный пример

Давайте разберемся, как же поэтапно нарисовать пирамиду? Делается это всего лишь за три шага.

Этап 1
Рисуем основание как и в предыдущем примере.

Этап 2
Стираем ребро невидимой части основания. Обводим готовый контур.

Этап 3
Представляем, какое будет освещение и откуда будет падать свет. Это может быть солнце в пустыне, а может и свет от лампы, который падает на настольную фигуру. Та сторона, на которую падает свет — светлее, в тени — темнее. При более детальной подходе можно наложить тень между камнями монумента.

Египетская пирамида

Теперь посмотрим, как нарисовать египетскую пирамиду. Для этого изобразим её и пейзаж Египта.

Нарисуем основание.

Отметим верхнюю точку. Из углов ромба построим ребра фигуры. Наметим горизонт.

Можно строить так, как указанно в первой части статьи. Для удобства мы изображаем разными способами.

Нарисуем текстуру и песок.

Добавим солнце, небо, рельеф пустыни, тень, которая падает с обратной стороны от солнца. Не забудем о тени на самом сооружении.

Наш рисунок готов.

Гробница Хеопса

Одна из величайших гробниц в Египта. В этой части урока мы узнаем, как нарисовать пирамиду Хеопса на бумаге. Для этого нам понадобится построить пирамиду, вход в неё и статуи по обеим сторонам от дверей.

Рисуем треугольник.

Добавляем перспективу. Подробно, как строить перспективу, показано в первых частях урока.

Рисуем текстуру. Горизонтальные линии кирпича параллельны горизонтальным линиям основы конструкции. В остальном кирпич рисуется, как обычный прямоугольник, только нужно учитывать, что то, что ближе к глазу — больше, а дальше — меньше.

Оставляем свободное место, для того чтобы поместился вход и статуи. Остальное можно обвести.

Строим прямоугольник. После этого две параллельные прямоугольнику линии справа и слева от него. Эти отметки помогут нам при изображении статуй.

Более детально прорисуем вход и статуи.

Нарисуем рельеф пустыни, небо и солнце. Добавим цвет.

Египетский пейзаж

Египетский пейзаж готов!

Треугольная пирамида

Одно из главных особенностей фигуры — это ее правильное построение, это также касается вопроса как нарисовать треугольную пирамиду. В древнем Египте хоронили фараонов, тело которых оставалось таким, как и в первоначальном состоянии после бальзамирования долгие долгие годы. Секрет этого в том, что внутри правильно построенного многогранника замедляются процессы жизнедеятельности.

В заключение этого небольшого пособия мы посмотрим, как нарисовать треугольную пирамиду.

Рисуем фигуру с тремя равными сторонами. Для этого легче всего использовать транспортир. Каждый угол в равностороннем треугольнике равен 60 градусам.

Измерим каждую сторону и поделим пополам. К середине каждой стороны проведем линию из противоположного угла. Отметим точку пересечения трех полученных линий.

Из точки пересечения нарисуем горизонтальную линию, равную высоте полученной линии. Проведем линии от верха треугольника до углов его основания.

А вот так выглядит правильная четырехугольная пирамида.

Научимся изображать пирамиду в различных положениях.

Изобразите в угловой перспективе. Постройте на каждом квадрате основания куба вертикальные и горизонтальные пирамиды.

Рассмотрите пирамиду на рис. 3.43 и ее на рис. 3.44. Основанием четырехгранной пирамиды является , ее боковыми гранями — одинаковые треугольники. Высота пирамиды по отношению к стороне квадрата основания определяет ее пропорции (высокая или приземистая).

Начинать построение стоящей пирамиды необходимо с изображения квадрата основания. Через точку пересечения его диагоналей проведите вертикаль, на которой отложите отрезок, равный высоте пирамиды (рис. 3.45). Соединив полученную таким образом вершину пирамиды с вершинами квадрата основания, получим перспективный четырехгранной пирамиды (рис. 3.46). Построение пирамиды с вертикальным квадратом основания ведется в той же последовательности.

Сечения пирамиды плоскостями, параллельными основанию, — квадраты, размеры которых зависят от положения секущей плоскости — ближе к вершине пирамиды размер сечений меньше, чем у основания (рис. 3.47). Сечение, перпендикулярное основанию пирамиды, проходящее через ее вершину и среднюю линию квадрата основания, представляет собой треугольник. Все другие сечения пирамиды, параллельные этому — трапеции, большее основание которых равно стороне квадрата основания, меньшее — меняется в зависимости от положения плоскости сечения (рис. 3.48). При построении таких сечений помните, что боковые стороны трапеций параллельны высотам в треугольниках боковых граней.

Теперь, когда вы хорошо изучили последовательность построения пирамиды и ее сечения плоскостями различного направления, приступайте к выполнению основного задания. Нарисуйте куб (рис. 3.49). Пересеките диагонали всех шести граней куба и проведите прямые, соединяющие центры противолежащих квадратов. Отложите на этих прямых высоты пирамид (рис. 3.50). Все шесть пирамид одинаковы по высоте (1,5а, где а — ребро куба), но на рисунке их высоты имеют разные размеры. Для определения высот пирамид разного положения в качестве единицы измерения используются различные отрезки. Так, например, при определении высот вертикальных пирамид такой единицей измерения является отрезок вертикальной прямой, ограниченный точками центров горизонтальных граней куба. Для высот горизонтальных пирамид такими единицами являются отрезки прямых, проходящие через центр куба и имеющие то же направление, что и определяемая высота. Таким образом, в любом рисунке, основу которого составляют геометрические тела, куб выступает в роли трехмерной линейки, при помощи которой можно определить или измерить длины отрезков, лежащих в трех взаимно перпендикулярных направлениях. Определяя точки вершин пирамид, учитывайте также перспективные сокращения отрезков. Соедините вершины всех шести пирамид с вершинами квадратов оснований (рис. 3.57).

К азалось бы, что может быть сложного или неправильного в изображении пирамиды? Неужели и здесь репетитор по математике не обходится без специальных приемов и методик? Отмечается всего лишь 4 точки (любые 3 из которых не лежат на одной прямой) и соединяются шестью отрезками. И все. Что здесь обсуждать? Но даже в такой простой ситуации репетитору по математике приходится исправлять ученические ошиби. Даже не столько математические, сколько стратегические. Какие? Рисунок, на котором невозможно рассмотреть или показать элементы пространственного тела, подписать значения величин, на котором не развернуться с дополнительными построениями, лучше переделать. Это должен понимать любой репетитор и в начале курса подготовки к ЕГЭ потратить некоторое время на обучение правилам и культуре чертежа. Кроме требований к его аккуратности и удобному расположению информации из условия задачи существуют еще и математические законы его выполнения. Рассмотрим их подробнее.

Правило метода изображений.

Метод изображений — отдельный предмет, изучению которого на математическом факультете МПГУ отводится целый семестр. То, что мы рисуем на бумаге – следы от проекций частей тела на некоторую плоскость. От нее зависит то, какие отрезки и какие сечения будут отчетливо видны, а какие окажутся «наползающими» друг на друга или скрытыми. Когда репетитор по математике решает, с какой стороны нарисовать ученику пирамиду, он определяет расположение плоскости и направление проецирования.

Существуют геометрические законы проецирования простейших стереометрических объектов. Длины непараллельных отрезков, например, при изображении могут менять соотношение своих длин (преподавателю лучше произнести «искажаются»). Если в реальности один из них больше другого, то в проекции может быть все с точностью до наоборот. Тоже самое и с углами. Прямой угол может проецироваться как в острый, так и в тупой. Для того, чтобы репетитору математики убедить в этом ученика стоит покрутить перед его глазами обычный угольник. Однако отношение длин отрезков, лежащих на параллельных или совпадающих прямых, не меняется и, в частности, не искажаются середины сторон многоугольников (граней пирамиды). Это объясняет закон расположения основания высоты правильной треугольной пирамиды: оно должно являться точкой пересечения его медиан (центром тяжести). Не искажается также параллельность. Если в пространстве имеется параллельность между прямыми, то она сохраняется и между их следами. Поэтому изображением основания правильной четырехугольной пирамиды выбирается параллелограмм.

Читабельность рисунка.

Важно расположить пирамиду так, чтобы все ее части не просто были видны, а допускали бы дальнейшее усложнение чертежа: проведение апофем, следов от сечений и т.д.

Для этого строить, например, правильную пирамиду желательно снизу вверх через высоту (так она используется почти во всех задачах). Сначала репетитор по математике рисует основание пирамиды, затем ее центр и из этой точки восстанавливает перпендикуляр. Его верний конец выбирается так, чтобы все наклонные ребра были достаточно удалены друг от друга. Если строить в обратном порядке можно промахнуться с центром многоугольника. Конечно, это не критично для решения задач на правильную треугольную пирамиду, но все равно неприглядно для восприятия. Середины должна отображаться серединами.

Построение основания .
Независимо от вида основания тетраэдра его изображают остроугольным треугольником и вытягивают влево или вправо. Зачем? Если он будет равнобедренным, то одно из боковых ребер закроет высоту (если конечно ее основание правильно расположено). Это показано на рисунке.

Фронтальное изображение тетраэдра. Правило репетитора.

Каким краем лучше всего изобразить пирамиду? То есть как оптимально выбрать плоскость для проецирования? Некоторые преподаватели и репетиторы по математике, к сожалению, не обращают внимание на такую «мелочь» как фронтальное расположение пирамиды. А зря. Существует два вида рисунка: «уголком основания к нам» или «уголком от нас» Рассмотрим рисунок с «уголком ABC от нас»:
Восстанавливаем высоту снизу вверх и выбираем положение ее конца (вершины пирамиды) с расчетом на приемлемый размах грани ABP. Для этого самое главное не попасть точкой P на линию AB. Иначе мы грань не увидим. Значительное отклонение от точки пересечения (в изображении) линий AB и OP вызывает довольно небольшое отклонение луча AP от луча AB и поэтому, чтобы добиться размаха грани ABP, необходимо выбирать точку P или очень низко или очень высоко. Последнее может чрезмерно укрупнить рисунок, вытягивая пирамиду вверх (сокращая пространство для самого решения), а низкая точка делает рисунок мелким. Поэтому я не рекомендую репетиторам по математике работать с таким фронтом. Лучше всего перевернуть треугольник ABC уголком к нам.
Заметьте, что теперь положение точки P никак не сказывается на читабельности грани ABP и если не равнобедренный и «сильно остроугольный», а точка О – его центр тяжести (то есть O не на высоте основания), то высота пирамиды не будет закрыта ребром BP ни при каком расположении вершины P. В этом случае репетитор по математике получает определенную свободу выбора вершины пирамиды, что крайне важно для улучшения читабельности дальнейших построений в сложных задачах.

Прорисовка невидимых линий.
Репетитор по математике, конечно, может обойтись и без пунктиров. Однако что русскому то хорошо, то немцу смерь. Ученику — важно воспринять тело именно с той стороны, с которой его видит репетитор. Особенно при работе с гранями. Я советую преподавателю математики чаще называть грани не по вершинам, а по их естественному расположению: «ближняя», «дальняя», «левая», «правая». Если в голове у ребенка сформируется образ объекта «задом наперед», то возникнут проблемы с описанием хода дополнительных построений, чтением рисунка и даже с объяснением непонятных моментов решений.

о построении четырехугольной пирамиды .
Основание правильной четырехугольной пирамиды следует изображаться в виде параллелограмма. Почему? Конечно, можно так расположить квадрат к плоскости проецирования, чтобы прямые углы сохранились (и мы получим прямоугольник), но тогда апофемы двух ближних граней будут закрывать высоту пирамиды. Другого объяснения сложившимся стандартам изображений я не нахожу.

Александр Колпаков, репетитор по математике в Москве . Подготовка к ЕГЭ .

Основы рисунка для учащихся 5-8 классов Сокольникова Наталья Михайловна

Последовательность рисования пирамиды

Первый этап. Определяется величина пирамиды и ее пространственное положение, основные пропорции пирамиды, степень разворота ее граней.

Второй этап. Осуществляется анализ строения пирамиды. Его рекомендуется начать с основания пирамиды – квадрата. В данном положении этот квадрат рисуется в перспективе. Затем определяется место вершины пирамиды. Из центра основания пирамиды, который находится на пересечении диагоналей, проводится вертикаль. Из вершины проводятся прямые до углов основания пирамиды. Эти прямые образуют грани пирамиды. На этом этапе работы можно легко проштриховать теневую сторону пирамиды.

Третий этап. Тоновая моделировка формы с выявлением объема. Самая светлая у пирамиды передняя грань, боковая находится в тени, справа расположена падающая тень.

Из книги Египетские храмы. Жилища таинственных богов автора Мюррей Маргарет

III Храм ступенчатой пирамиды Сбоку от ступенчатой пирамиды находятся храмы, которые являются древнейшими известными постройками в Египте; они датируются III династией и воздвигнуты фараоном Джосером, строителем ступенчатой пирамиды. Они имеют чрезвычайно важное

Из книги Основы рисунка для учащихся 5-8 классов автора Сокольникова Наталья Михайловна

Последовательность рисования цилиндра Первый этап. Определение размеров цилиндра, основных пропорций (высоты и ширины). Нахождение его расположения на листе. Построение осевых линий. Для этого определяется положение вертикальной оси цилиндра. Перпендикулярно к ней

Из книги Строительство и архитектура в Древнем Египте автора Кларк Сомерс

Последовательность рисования куба Первый этап. Определение размера куба, его основных пропорций, перспективного положения. Второй этап. Определение при помощи направляющих перспективных линий точного пространственного положения всех сторон куба. Прорисовка

Из книги Развитие навыков рисования и графического дизайна у людей с аутизмом, думающих картинками автора Грэндин Темпл

Последовательность рисования шестигранной призмы Первый этап. Определяется размер шестигранника, его основные пропорции, перспективное положение. Второй этап. Осуществляется подробный анализ конструктивного построения. Его рекомендуется начать с передней стенки

Из книги автора

Последовательность рисования шара Первый этап. Определение размера шара, точки опоры и плоскости, на которой он находится. Второй этап. Уточнение диаметра окружности шара, определение границ света, полутонов и собственной тени, рефлекса и падающей тени. Третий этап.

Из книги автора

Глава 10 Как строились пирамиды Ученые давно уже спорят о том, каким образом сооружались пирамиды. Это относится не только к технологии обтесывания и укладки блоков, но и к тому, в каком порядке создавались разные части этих сооружений. Ведь пирамида – это не просто

В этом уроке вы узнаете, как нарисовать правильные трехмерные пирамиды карандашом поэтапно. Я всегда мечтала поехать в Египет и взобраться на древнюю пирамиду. А вы?

Мы будем рисовать пирамиду, используя следующие концепции: перекрытие, линия горизонта, тени и затенения. Этот урок также поможет вам попрактиковать в нанесении гладких односторонних теней. Так как стороны пирамиды плоские, они требуют последовательного затенения в отличие от цилиндров, флагов и других криволинейных поверхностей, которые требуют растушеванного затенения от темного к светлому. Приступим.

1. Нарисуйте прямую вертикальную линию.

2. Наклоните стороны пирамиды вниз, сохраняя угол между ними одинаковым и сделав среднюю линию чуть длиннее.

3. Представляя компас направлений, нарисуйте нижнюю часть пирамиды в направлениях СЗ и СВ.

4. Заякорите пирамиду на песке с помощью линии горизонта. Расположите световой источник и нарисуйте линии в направлении ЮЗ для падающей тени.

5. Теперь добавьте однотонное гладкое затенение на одну сторону пирамиды напротив источника света.

6. Вы можете на это остановиться, у вас получилась отличная пирамида! А можете добавить кирпичную текстуру, с осыпающимися краями и нагроможденными каменными обломками и у вас получаться руины. Я думаю о том, чтобы добавить двери. Странно? Глупо? Набросайте положение дверей.

7. На двери справа – откос справа, на двери слева – откос слева. Нарисуйте откосы на правой стороне.

8. Теперь на левой.

9. Завершите затенение на сторонах противоположных от светового источника. Помните, это плоская поверхность, которая подразумевает гладкое однотонное затенение без растушевки. Однако внутри изогнутой двери справой стороны нужно сделать растушевку потому, что на изогнутых поверхностях вы всегда должны растушевывать тень от темного к светлому, а на плоских – добавлять однотонную штриховку на сторонах, отвернувшихся от источника света.

УРОК 19: ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ

Все зависит от того, сколько времени вы можете выделить на эту чудесную сцену с множеством пирамид. Обратите внимание как одна пирамида находится ниже уровня горизонта и несколько пирамид на расстоянии, за горизонтом. Очень интересное замечание в законах рисования, что перекрытие всегда выигрывает перед остальными восемью законами. Посмотрите, размер не играет роли на этой картине. Обычно, предметы, которые мы рисуем больше, появляются ближе, и которые меньше – дальше. Однако на этом рисунке, хоть огромную пирамиду затмевают маленькие, она все равно смотрится дальше, глубже на картинке. Почему? Из-за силы перекрытия. Маленькие пирамиды нарисованы впереди большой, таким образом создается иллюзия, что гигантская дальше.