PREOBRAZBA SLIČNOSTI

Transformacija F oblika u obliku slova F zove se transformacija sličnosti , ako se pri ovoj transformaciji udaljenosti između točaka mijenjaju za isti broj puta (slika 1). To znači da ako proizvoljne točke X, Y F oblici pri transformaciji sličnosti idu u točke X", Y" brojke F", zatim X"Y" = k-XY , gdje je broj k -- isto za sve točke X, Y . Broj k naziva se koeficijent sličnosti . Za k = l preobrazba sličnosti očito je kretanje.

Neka je F zadana figura i O fiksna točka (slika 2). Povucimo zraku OX kroz proizvoljnu točku X lika F i na njoj nacrtajmo odsječak OX" jednak k? OX, gdje je k pozitivan broj. homotetiju u odnosu na središte O. Broj k nazivamo koeficijent homotetije, figure F i F" nazivaju se homotetičnima.

Teorem 1. Homotetija je transformacija sličnosti

Dokaz. Neka je O središte homotetije, k koeficijent homotetije, X i Y dvije proizvoljne točke slike (slika 3.)

sl.3

Kod homotetije točke X i Y idu u točke X" i Y" na zrakama OX i OY, redom, i OX" = k?OX, OY" = k?OY. Ovo implicira vektorske jednakosti OX" = kOX, OY" = kOY.

Oduzimajući ove jednakosti član po član, dobivamo: OY "-OX" = k (OY- OX).

Budući da je OY "- OX" \u003d X "Y", OY -OX \u003d XY, tada X "Y" \u003d kXY. Dakle, /X"Y"/=k /XY/, tj. X"Y" = kXY. Prema tome, homotetija je transformacija sličnosti. Teorem je dokazan.

Transformacija sličnosti ima široku primjenu u praksi pri izradi crteža dijelova strojeva, konstrukcija, planova terena itd. Ove slike su slične transformacije imaginarnih slika u punoj veličini. Faktor sličnosti naziva se skala. Na primjer, ako je komad terena prikazan u mjerilu 1:100, to znači da jedan centimetar na planu odgovara 1 m na tlu.

Zadatak. Na slici 4 prikazan je nacrt imanja u mjerilu 1:1000. Odredite dimenzije imanja (duljina i širina).

Riješenje. Duljina i širina imanja na nacrtu su 4 cm i 2,7 cm, a budući da je nacrt rađen u mjerilu 1:1000, dimenzije imanja su 2,7 x 1000 cm = 27 m, 4 x 100 cm = 40 m. m, odnosno.

SVOJSTVA TRANSFORMACIJE SLIČNOSTI

Kao i za gibanje, dokazuje se da kod transformacije sličnosti tri točke A, B, C, koje leže na istom pravcu, prelaze u tri točke A 1 , B 1 , C 1 , koje također leže na istom pravcu. Štoviše, ako se točka B nalazi između točaka A i C, tada se točka B 1 nalazi između točaka A 1 i C 1. Iz toga slijedi da transformacija sličnosti pretvara pravce u pravce, polupravce u polupravce, isječke u isječke.

Dokažimo da transformacija sličnosti čuva kutove između polupravaca.

Doista, neka se kut ABC transformira sličnošću s koeficijentom k u kut A 1 B 1 C 1 (sl. 5). Kut ABC podvrgavamo transformaciji homotetije u odnosu na njegov vrh B s koeficijentom homotetije k. U ovom slučaju, točke A i C će ići u točke A 2 i C 2. Trokuti A 2 BC 2 i A 1 B 1 C 1 jednaki su po trećem kriteriju. Iz jednakosti trokuta slijedi jednakost kutova A 2 BC 2 i A 1 B 1 C 1. Dakle, kutovi ABC i A 1 B 1 C 1 su jednaki, što je trebalo dokazati.

Transformacije likova proučavaju se u kolegiju geometrije u ravnini i prostoru. Ako se svaka točka datog lika na ravnini ili u prostoru na neki način pomakne, tada ćemo dobiti novi lik. Kaže se da je ova figura dobivena transformacijom zadane. Evo nekoliko primjera transformacija oblika.

1. Simetrija oko točke (centralna simetrija). Simetrija u odnosu na točku definirana je na sljedeći način. Neka je O fiksna točka i X proizvoljna točka. Točku nazivamo simetričnom točki X u odnosu na točku ako točke leže na istom pravcu, a točka simetrična točki O je sama točka O. Na slici 203, točke X i su simetrične jedna drugoj u odnosu na točku O. .

Neka je F zadana figura i O fiksna točka ravnine. Transformacija lika F u lik u kojem svaka njegova točka X ide u točku simetričnu X u odnosu na danu točku O naziva se transformacija simetrije oko točke O. Slika 204 prikazuje simetriku oko središta O.

Slika 205 prikazuje dvije kocke simetrične u odnosu na točku O.

Ako se transformacija simetrije oko točke O translatira

lik u sebe, tada se lik naziva centralno simetričnim, a točka O njegovo središte simetrije. Na primjer, paralelogram je centralno simetričan lik. Središte njegove simetrije je točka sjecišta dijagonala (slika 206, a). Krug sa središtem O također je centralno simetrična figura sa središtem simetrije O (slika 206, b). Sve ove figure su ravne.

U prostoru, kao iu ravnini, ima mnogo primjera središnje simetričnih likova. Na primjer, slika 207 prikazuje sljedeće figure: kocka, kugla, paralelopiped.

2. Simetrija u odnosu na ravnu liniju (osna simetrija). Neka je l fiksni pravac (slika 208). Točku nazivamo simetričnom točki X u odnosu na pravac l ako je pravac okomit na pravac l i gdje je O točka presjeka pravaca i l. Ako točka X leži na pravcu 2, tada je točka simetrična njoj sama točka X.

Transformacija lika F u kojoj svaka točka X ide u točku simetričnu s obzirom na pravac naziva se transformacija simetrije s obzirom na pravac l. U ovom slučaju, figure F i nazivaju se simetrične u odnosu na

u odnosu na ravnu liniju I. Slika 208, b prikazuje kružnice koje su simetrične u odnosu na ravnu liniju I.

Slika 209 prikazuje dvije sfere simetrične u odnosu na pravu I.

Ako transformacija simetrije u odnosu na pravac I transformira lik F u samog sebe, tada se lik naziva simetričnim u odnosu na pravac I, a pravac I naziva se osi simetrije lika.

Na primjer, ravne linije koje prolaze kroz točku sjecišta dijagonala pravokutnika paralelne s njegovim stranama su osi simetrije pravokutnika (slika 210, a). Ravne linije na kojima leže dijagonale romba su njegove osi simetrije (slika 210, b). Krug je simetričan u odnosu na bilo koju ravnu liniju koja prolazi kroz njegovo središte (slika 210, c). Sve ove figure su ravne.

U prostoru, kao iu ravnini, postoji mnogo primjera likova koji imaju osi simetrije. Slika 211 prikazuje takve figure: ovo je pravokutni paralelopiped, stožac, pravilna četverokutna piramida.

3. Simetrija u odnosu na ravninu. Neka je a proizvoljna fiksna ravnina. Iz točke X spušta se okomica na ravninu a (O je njezino sjecište s ravninom a) i na njezinom nastavku preko točke O

odvojite segment jednak OX. Točke X i nazivamo simetričnima u odnosu na ravninu a (slika 212).

Transformacija lika F u koju svaka točka X lika F ide u točku simetričnu X u odnosu na ravninu a naziva se transformacija simetrije u odnosu na ravninu a. U tom se slučaju figure F i nazivaju simetričnima u odnosu na ravninu

Slika 213 prikazuje dvije sfere simetrične u odnosu na ravninu a.

Ako transformacija simetrije u odnosu na ravninu transformira lik u sebe, tada se lik naziva simetričnim u odnosu na ravninu a, a ravnina a ravnina simetrije.

Slika 214 prikazuje dvije ravnine simetrije kugle. Imajte na umu da sfera ima beskonačan broj takvih ravnina simetrije. Kocka također ima ravnine simetrije. Na slici 215 prikazana su dva od njih.

4. Homotetija Neka je F zadana figura, a O fiksna točka (slika 216). Povucimo zraku OX kroz proizvoljnu točku X lika F i na nju ucrtajmo isječak jednak gdje je k pozitivan broj. Transformacija figure F, pri kojoj svaka njezina točka X ide u točku konstruiranu na zadani način, zove se homotetija u odnosu na

centar O. Broj k naziva se koeficijent homotetije. Figure se nazivaju homotetičnima. Na slici 216 četverokut je homotetičan četverokutu sa središtem homotetije O i koeficijentom homotetije

Na slici je homotetičan sa središtem O i koeficijentom homotetije jednakim 1,6.

Slika 218 prikazuje dvije homotetičke kugle s koeficijentom homotetije 2.

Primjer. U zadanu pravilnu četverokutnu piramidu upiši kocku tako da joj četiri vrha leže na bridovima, a četiri na dnu piramide.

Riješenje. Nacrtajmo bilo koji presjek piramide s vrhom S, paralelnim s bazom (slika 219). Na tom presjeku (kvadratu), kao i na gornjoj bazi, gradimo kocku.Uzevši vrh S piramide za središte homotetije, nacrtamo polupravce (nisu prikazani na slici). Točke njihova sjecišta s bazom piramide (točnije, s dijagonalama baze) bit će vrhovi

jedna od baza željene kocke. Vrhove A, B, C, D druge baze dobit ćemo ako povučemo ravne linije paralelne do sjecišta s bridovima piramide.

76. Pojam kretanja. Svojstva kretanja.

Definicija gibanja je ista iu ravnini iu prostoru. Transformacija lika F u lik naziva se kretanjem ako zadržava razmak između točaka, tj. pretvara bilo koje dvije točke A i B lika F u točke lika tako da su simetrije u odnosu na točku , pravac i ravnina razmatrani u § 75 su gibanja.

Transformacija simetrije oko točke je kretanje.

Transformacija simetrije oko pravca je kretanje.

Transformacija simetrije u odnosu na ravninu je kretanje.

Formulirajmo neka svojstva gibanja.

Pri gibanju točke koje leže na pravoj liniji prelaze u točke koje leže na pravoj liniji, a redoslijed njihovog međusobnog rasporeda ostaje očuvan.

Iz teorema 5.4 slijedi da pri gibanju pravci prelaze u pravce, polupravci u polupravce, a odsječci u odsječke.

Pri pomicanju se čuvaju kutovi između polupravaca. Kada se kreće, avion postaje avion.

Razmotrimo još dva gibanja - rotaciju u ravnini i rotaciju oko osi u prostoru.

Rotacija u ravnini oko dane točke je takvo kretanje u kojem se svaka zraka koja izlazi iz dane točke okreće za isti kut u istom smjeru (u smjeru kazaljke na satu ili u suprotnom smjeru). Na slici je zakrenut za 60 ° u smjeru kazaljke na satu oko zadane struje O. Kutovi između zraka OA i i jednaki su 60 °.

Rotacija oko osi za kut je transformacija prostora, u kojoj:

1) postoji jedinstvena linija I čije sve točke ulaze u sebe;

2) svaka točka A koja ne pripada I ide u takvu točku

a) točke leže u ravnini okomitoj na

b) konstantan po veličini i smjeru (točka O je presječna točka ravnine a s osi).

Pravac I zove se os rotacije, kut je kut rotacije (slika 221).

Fiksni elementi rotacije su točke osi rotacije, kao i sve ravnine okomite na ovu os. Ako se tada rotacija može smatrati identičnom transformacijom.

Simetrija u odnosu na pravac može se smatrati posebnim slučajem rotacije, kada

Dva pokreta izvedena uzastopno ponovno daju pokret. Rezultat tih gibanja naziva se kompozicija gibanja.

Na slici 222 prikazano je uzastopno izvođenje dva kretanja, lik je dobiven od lika F sa simetrijom oko osi, a lik je dobiven iz lika sa simetrijom oko točke O, kao rezultat uzastopnog izvođenja ovih gibanja, sačuvani su razmaci između odgovarajućih točaka, što znači da je lik dobiven iz lika F kretanjem.

Kompozicija dviju rotacija s istom osi je rotacija.

Neka transformacija figure F u figuru prevodi različite točke figure F u različite točke figure. Neka proizvoljna točka X figure F prijeđe u točku figure tijekom te transformacije. Transformacija figure u lik F, u kojem točka ide u točku X, zove se inverzna transformacija Transformacija inverzna gibanju također je gibanje.

I u ravnini iu prostoru razmatraju se jednake figure. Likovi F i nazivaju se jednakima ako se kretanjem prenose jedna u drugu. Znak jednakosti koristi se za označavanje jednakosti figura. Zapis znači da je brojka F jednaka .

Na slici 213 kuglice su simetrične u odnosu na ravninu, što znači da su jednake. Na slici 205 kocke su simetrične u odnosu na točku, što znači da su jednake. Na slici 222 trokuti su jednaki, jer su svi nastali jedan iz drugoga kao rezultat kretanja.

Primjer 1. Na slici 223 prikazana su dva trokuta ABC i za koje Dokažite da su ti trokuti pokretom spojeni, a vrh A ide u vrh - to.

Riješenje. Rješenje problema ovisi o položaju trokuta.

75. Primjeri transformacija likova.

Transformacije likova proučavaju se u kolegiju geometrije u ravnini i prostoru. Ako se svaka točka datog lika na ravnini ili u prostoru na neki način pomakne, tada ćemo dobiti novi lik. Kaže se da je ova figura dobivena transformacijom zadane. Evo nekoliko primjera transformacija oblika.

1. Simetrija oko točke (centralna simetrija). Simetrija u odnosu na točku definirana je na sljedeći način. Neka je O fiksna točka i X proizvoljna točka. Točku nazivamo simetričnom točki X u odnosu na točku O ako točke leže na istom pravcu, a točka simetrična točki O je sama točka O. Na slici 203. točke X i su simetrične jedna drugoj u odnosu na točku O. .

Neka je F zadana figura i O fiksna točka ravnine. Transformacija lika F u lik u kojem svaka njegova točka X ide u točku simetričnu X u odnosu na danu točku O naziva se transformacija simetrije oko točke O. Slika 204 prikazuje simetriku oko središta O.

Slika 205 prikazuje dvije kocke simetrične u odnosu na točku O.

Ako se transformacija simetrije oko točke O translatira

lik u sebe, tada se lik naziva centralno simetričnim, a točka O njegovo središte simetrije. Na primjer, paralelogram je centralno simetričan lik. Središte njegove simetrije je točka sjecišta dijagonala (slika 206, a). Kružnica sa središtem O također je centralno simetrična figura sa središtem simetrije O (slika 206, b) Svi navedeni likovi su ravni.

U prostoru, kao iu ravnini, ima mnogo primjera središnje simetričnih likova. Na primjer, slika 207 prikazuje sljedeće figure: kocka, kugla, paralelopiped.

2. Simetrija u odnosu na ravnu liniju (osna simetrija). Neka je I fiksna ravna linija (slika 208). Točku nazivamo simetričnom točki X u odnosu na pravac I ako je pravac okomit na pravac I i gdje je O točka presjeka pravaca i I. Ako točka X leži na pravcu I, tada je točka simetrična na njega sama točka X. Točka simetrična točki je točka X. Na slici 208. a točke su simetrične u odnosu na pravac I.

Transformacija lika F u kojoj svaka točka X ide u točku simetričnu s obzirom na pravac I naziva se transformacija simetrije s obzirom na pravac I. U tom slučaju figure se nazivaju simetrične s obzirom na pravac I.

linija I. Slika 208, b prikazuje kružnice simetrične oko linije I.

Slika 209 prikazuje dvije sfere simetrične u odnosu na pravu I.

Ako transformacija simetrije u odnosu na pravac I transformira lik F u sebe, tada se lik naziva simetričnim u odnosu na pravac 19, a pravac I naziva se os simetrije lika.

Na primjer, ravne linije koje prolaze kroz točku sjecišta dijagonala pravokutnika paralelne s njegovim stranama su osi simetrije pravokutnika (slika 210, a). Ravne linije na kojima leže dijagonale romba su njegove osi simetrije (slika 210, b). Krug je simetričan u odnosu na bilo koju ravnu liniju koja prolazi kroz njegovo središte (slika 210, c). Sve ove figure su ravne.

U prostoru, kao iu ravnini, postoji mnogo primjera likova koji imaju osi simetrije. Slika 211 prikazuje takve figure: ovo je pravokutni paralelopiped, stožac, pravilna četverokutna piramida.

3. Simetrija u odnosu na ravninu. Neka je a proizvoljna fiksna ravnina. Iz točke X spušta se okomica na ravninu a (O je njezino sjecište s ravninom a) i na njezinom nastavku preko točke O

polažu isječak jednak točki X i nazivaju se simetričnima u odnosu na ravninu a (slika 212).

Transformacija lika F u kojoj svaka točka X lika F ide u točku simetričnu X u odnosu na ravninu a naziva se transformacija simetrije u odnosu na ravninu. U tom slučaju se likovi nazivaju simetričnim s poštovanje prema ravnini

Slika 213 prikazuje dvije sfere simetrične u odnosu na ravninu a.

Ako transformacija simetrije u odnosu na ravninu transformira lik u sebe, tada se kaže da je lik simetričan u odnosu na ravninu; ravnina a naziva se ravnina simetrije.

Slika 214 prikazuje dvije ravnine simetrije kugle. Imajte na umu da sfera ima beskonačan broj takvih ravnina simetrije. Kocka također ima ravnine simetrije. Na slici 215 prikazana su dva od njih.

4. Homotetija. Neka je F zadani lik, a O fiksna točka (slika 216). Povucimo zraku kroz proizvoljnu točku X lika F i ucrtajmo na nju odsječak i jednak gdje je pozitivan broj. Transformacija figure, pri kojoj svaka njezina točka X ide u točku konstruiranu na zadani način, naziva se homotetija u odnosu na

Disciplina: Razno
Vrsta rada: sažetak
Tema: Transformacije oblika

Malojazovski baškirska gimnazija

Geometrija

"Transformacije oblika"

Izradio: učenik 10 B razreda

Khaliullin

Provjereno:

Israfilova R.Kh.

Maloyaz 2003

Transformacija.

Vrste transformacija

Homotetija

Promet

Vrste kretanja

1. Simetrija oko točke

2. Simetrija u odnosu na ravnu liniju

3. Simetrija u odnosu na ravninu

4. Okrenite se

5. Paralelni prijenos u prostoru

Transformacija je pomicanje svake točke danog lika na neki način i dobivanje novog lika.

Vrste preobrazbi u prostoru: sličnost, homotetija, kretanje.

Transformacija oblika

F se naziva transformacija sličnosti ako se pri ovoj transformaciji udaljenosti između točaka mijenjaju za isti broj puta, tj. za bilo koje bodove

Y' oblici

F' u koju prelazi,

Svojstva sličnosti: 1. Sličnost pretvara prave u prave, polupravce u polupravce, odsječke u odsječke.

2. Sličnost čuva kutove između polupravaca

Sličnost prevodi ravnine u ravnine.

Kaže se da su dvije figure slične ako se prevedu

jedan prema drugom transformacijom sličnosti.

Homotetija

Homotetija – najjednostavnija transformacija

u odnosu na centar

s koeficijentom homotetije

Ovo je transformacija koja translatira proizvoljnu točku

Tako da

Svojstvo homotetije:

1. Transformacijom homotetije, uzima bilo koju ravninu koja ne prolazi kroz središte homotetije u paralelnu ravninu (ili u sebe ako

Dokaz. Doista, neka

je centar homotetije i

Bilo koja ravnina koja ne prolazi kroz točku

Uzmite bilo koju liniju

u avionu

Transformacija homotetije

prevodi poantu

' na gredi

' na gredi

je koeficijent homotetije. To implicira sličnost trokuta

'. Iz sličnosti trokuta slijedi jednakost odgovarajućih kutova

’, što znači da paralelni pravci

'. Idemo drugom linijom

u avionu

Pod homotetijom, ići će preko paralelne crte

'. Pod razmatranom homotetijom, ravnina

ide ravno

' prolazeći kroz linije

'. Jer

To, prema teoremu

o dvije paralelne ravne linije iste ravnine koje se sijeku

s linijama koje se sijeku u drugoj ravnini,

avion

' su paralelni, što je trebalo dokazati.

Promet

pokret

Pretvaranje jednog oblika u drugi

ako očuva razmak između točaka, tj. prevodi bilo koje dvije točke

jedan oblik po točki

druga figura tako da

Svojstva kretanja:

1. Točke koje leže na pravoj liniji, pri kretanju prelaze u točke koje leže na pravoj liniji, a redoslijed njihovog međusobnog položaja je sačuvan. To znači da ako

Ležeći na ravnoj liniji, idite na točke

Tada i te točke leže na pravcu; ako točka

leži između točaka

To je bit

leži između točaka

Dokaz. Neka točka

leži između točaka

Dokažimo da točke

leže na istoj liniji.

Ako točka

ne leže na pravcu, onda su oni vrhovi trokuta. Zato

Po definiciji gibanja slijedi da

Međutim, svojstvom mjernih segmenata

Došli smo do kontradikcije. Dakle poanta

leži na ravnoj liniji

Prva tvrdnja teorema je dokazana.

Pokažimo sada da je točka

leži između

Recimo poantu

leži između točaka

I stoga

Ali to je u suprotnosti s nejednakošću

Dakle poanta

ne može ležati između točaka

Slično, dokazujemo da je točka

ne može ležati između

Pošto od tri boda

jedna leži između dvije druge, onda ova točka može biti samo

Teorem je u potpunosti dokazan.

2. Pri kretanju ravne linije prelaze u ravne, polupravci u polupravce, segmenti u segmente

3. Pri pomicanju kutovi između polupravaca su očuvani.

Dokaz. Neka

su dvije poluprave koje izlaze iz točke

Ne leži na ovoj ravnoj liniji. Pri kretanju ti polupravci prelaze u neke polupravce

Budući da kretanje čuva udaljenost, trokuti

jednaki prema trećem kriteriju jednakosti trokuta. Iz jednakosti trokuta slijedi jednakost kutova

Q.E.D.

4. Kretanje dovodi ravninu do ravnine.

Dokažimo ovo svojstvo. Neka

Proizvoljna ravnina. Označite bilo koje tri točke na njemu

Ne leže na istoj liniji. Kroz njih nacrtaj ravninu

Dokažimo da, pri razmatranom gibanju, ravnina

ide ravno

Proizvoljna točka ravnine

Povucimo kroz njega ravnu liniju.

u avionu

Prelazak trokuta

u dvije točke

Pravac a će pri kretanju prijeći u određeni pravac

idi na bodove

\" koji pripada trokutu

\", a time i avioni

Tako ravno

\" leži u ravnini

krećući se do točke

\", a time i avioni

\", što je obavezno

dokazati.

U prostoru, kao i na ravnini, dva lika se nazivaju jednakima ako su spojena kretanjem.

Vrste kretanja:

simetrija u odnosu na točku, simetrija u odnosu na pravac, simetrija u odnosu na ravninu, rotacija, kretanje, paralelna translacija.

Simetrija u odnosu na točku

Neka je O fiksna točka i

Proizvoljna točka ravnine. Odvojite na nastavku segmenta

\", jednak

u odnosu na točku

Točka simetrična točki

Ima smisla

\", postoji točka

Transformacija oblika

prelazi na stvar

\", simetričan u odnosu na zadanu točku

To se naziva transformacija simetrije oko točke

Istodobno, brojke

\" nazivaju se simetrične u odnosu na točku

Ako transformacija simetrije oko točke

prevodi figuru

u sebe, tada se naziva centralno simetrična, a točka

naziva središtem simetrije.

Na primjer, paralelogram je centralno simetričan lik. Njegovo središte simetrije

je sjecište dijagonala.

Teorem: Transformacija simetrije oko točke je kretanje.

Dokaz. Neka

Dvije proizvoljne točke figure

Transformacija simetrije oko točke

pretvara ih u bodove

\". Razmotrimo trokute

\". Ovi su trokuti jednaki prema prvom kriteriju jednakosti trokuta. Imaju vršne kutove

jednaki su kao vertikalni, i

\" po definiciji simetrije oko točke

Iz jednakosti trokuta slijedi jednakost stranica:

\". To znači da simetrija u odnosu na točku

ima kretanja. Teorem je dokazan.

Simetrija u odnosu na ravnu liniju

Fiksna linija. Uzmite proizvoljnu točku

a ispustite okomicu

Na nastavku okomice iza točke

odgoditi segment

\", jednak segmentu

\" naziva se simetrična točka

relativno ravno

Ako točka

leži na ravnoj liniji

Tada je točka simetrična njoj sama točka

Očito, točka simetrična točki

\", postoji točka

Transformacija oblika

\", u kojoj svaka njegova točka

prelazi na stvar

\", simetričan u odnosu na zadanu liniju

Zvao se...

Podignite datoteku

1. Bit metode transformacija, njezino mjesto u školskom tečaju geometrije.

2. Vrste transformacija:

a) kretanja i njihova svojstva; jednakost figura;

b) transformacija sličnosti; slične brojke.

3. Primjene metode transformacija.

(1) Za različite autore udžbenika geometrije za srednje škole transformacije zauzimaju različita mjesta u smislu opsega i stupnja strogosti. U udžbeniku koji je uredio A. N. Kolmogorov transformacije služe kao osnova za dokazivanje mnogih teorema (njihovom opravdanju posvećen je poseban aksiom pokretljivosti). Udžbenik A. P. Kiseleva ne govori ništa o transformacijama.

U Geometriji 7-11 A. V. Pogorelov, tema transformacije figura razmatra se u osmom razredu. Tema nije velika. Koncept “transformacije” izveden je na vizualno-intuitivnoj razini: “Ako se svaka točka date figure na neki način pomakne, tada ćemo dobiti novu figuru. Kaže se da je ova figura dobivena transformacijom zadane.

Uz opisnu definiciju prilaže se crtež. Daje se definicija gibanja i razmatraju se njegova svojstva. Nadalje, jasno su definirane specifične vrste transformacija. U ovom vodiču, simetrija oko točke, simetrija oko pravca, homotetija i sličnost definirani su kao transformacije s odgovarajućim svojstvima; paralelno prevođenje je definirano kao transformacija u koordinatnom obliku; a okretanje se definira kao vrsta kretanja. Usporedo s definicijom transformacija, dana je i metoda za konstruiranje transformiranih figura.

U priručniku za geometriju 7-9 (autori: L. S. Atanasyan i drugi), materijal o transformacijama predstavljen je temom "Kretanje" u 9. razredu. Ovo je zadnja tema u ovom vodiču. Ovdje se uvode koncepti "preslikavanja ravnine na samu sebe", "gibanja" i razmatraju se glavne vrste gibanja. Osim toga, važno je pitanje odnosa između pojmova preklapanja i pokreta, njihova je ekvivalentnost dokazana.

Glavni cilj teme je upoznati studente s pojmom gibanja u ravnini, s određenim vrstama gibanja: središnja i osna simetrija, paralelna translacija, rotacija. Koncept preslikavanja ravnine na samu sebe smatra se samo osnovom za uvođenje pojma gibanja. Razmatra se preslikavanje ravnine na samu sebe na vizualno-intuitivnoj razini uz uključivanje pojmova osne i središnje simetrije koji su učenicima već poznati.

Budući da nastavni plan i program općeobrazovne škole u matematici još ne predviđa detaljno proučavanje različitih svojstava ovih transformacija, pitanje korištenja transformacija treba izdvojiti kao izbornu nastavu ili razmotriti u učionici matematičkog kruga. Kao što je gore spomenuto, u tečaju geometrije općeobrazovne škole ne ulaze u detalje matematičke definicije koncepta "transformacije". Ali nastavnik matematike treba razumjeti da se u geometriji transformacija (u slučaju ravnine) shvaća kao "preslikavanje cijele ravnine na samu sebe, u kojem svaka točka x preslikana u jednu točku x 1 , a svaka točka Y 1 odgovara jednoj točki Y».

Za učenike govorimo o transformaciji oblika. Lik je, za razliku od ravnine, konačan, pa je koncept transformacije likova pristupačniji. Učenicima se može reći da je transformacija ravnine funkcija, štoviše formacija, ali u geometriji govorimo o podudarnosti točaka, a ne brojeva.

(2) Među transformacijama koje se uče u školi postoje dvije vrste transformacija: transformacija kretanja i transformacija sličnosti. U školi se ne proučavaju sve vrste transformacija.

„Transformacija jedne figure u drugu naziva se kretanjem ako zadržava razmak između točaka, tj. prevodi bilo koje dvije točke x i Y jedan oblik po točki x 1 i Y 1 druga figura tako da XY = x 1 Y jedan ".

Ako se razmatra sekvencijalno izvođenje dviju ili više transformacija, tada se rezultat takvog sekvencijalnog izvođenja transformacija u geometriji naziva sastav transformacije.

U ovom vodiču je navedeno samo jedno svojstvo kompozicije: dva stavka izvedena uzastopno ponovno daju pokret.

Razmatra se i transformacija inverzna zadanoj. Dokazano je da je transformacija inverzna gibanju gibanje.

Svojstvo je implicitno prisutno: sastav transformacije njegovog inverza je identična transformacija.

Učenici bi trebali shvatiti da je nakon dokazivanja svojstava gibanja moguće raditi ne samo s točkama, već i transformacijama podvrgavati odsječke, pravce, zrake, kutove itd. I možete biti potpuno sigurni da će figure koje su bile podvrgnute transformaciji gibanja ići u isto ime: segmenti će ići u segmente, kutovi u kutove, itd.; štoviše, segmenti će ići u jednake segmente, kutovi u jednake kutove, itd.

U udžbeniku A. V. Pogorelova dokazuje se da je simetrija u odnosu na točku kretanje (koristeći prvi kriterij jednakosti trokuta); simetrija u odnosu na ravnu liniju je gibanje (dokazuje se koordinatnom metodom). U drugom slučaju, os simetrije je odabrana kao y-os.

Sljedeći korak u učenju pokreta je njihova upotreba za određivanje jednakost figure.

Jednakost likova u različitim tečajevima školske geometrije uvodi se na različite načine. Ponekad uopće nije dana opća definicija "jednakih brojki", ponekad se uvodi odmah. U udžbeniku A.V. Pogorelov najprije uvodi pojam jednakosti pojedinih figura (odsječaka, kutova, trokuta), a zatim se daje opća definicija jednakosti figura pomoću pojma gibanja: Kaže se da su dva lika jednaka ako se pokretom prenose s jednoga na drugi.

Dokazuje se važna činjenica: jednakost trokuta, definirana njihovom kombinacijom kretanjem, i jednakost, kako smo je do sada shvaćali, izražavaju isto. Drugim riječima, može se dokazati istovjetnost dviju definicija. Dokaz se sastoji od dva dijela: 1) iz pretpostavke da 2 trokuta ABC i A 1 NA 1 IZ 1 se spajaju kretanjem, dokazuje se jednakost njihovih kutova i stranica; 2) pretpostavlja se da su odgovarajuće stranice i kutovi ovih trokuta jednaki, te se dokazuje da se mogu spojiti gibanjem.

Prvi dio dokaza oslanja se na definiciju gibanja i njegovo svojstvo da su kutovi očuvani u gibanju. Rješenje drugog dijela zadatka ovisi o položaju trokuta. Razmotrite jednu od varijanti dokaza, različitu od one date u udžbeniku A.V. Pogorelov. Trokut ALI 2 NA 1 IZ 2 izvedeno iz trokuta ABC paralelna translacija u smjeru koji daje zraka AA 2 za udaljenost AA 2. Trokut A 1 NA 1 IZ 1 dobiven iz trokuta ALI 2 NA 1 IZ 2 okretanjem za kut α u smjeru kazaljke na satu (vidi sl. 1).

Glavna svrha proučavanja ove teme je upoznavanje učenika s primjerima geometrijskih transformacija.

Prilikom rada na temi glavnu pozornost treba posvetiti razvijanju vještina građenja slika najjednostavnijih figura (točaka, segmenata, trokuta) specifičnim pokretima. U ovom slučaju, svojstvo gibanja se koristi na vizualno-intuitivnoj razini, odgovarajući teoremi se mogu razmatrati bez dokaza. U tijeku rješavanja zadataka učenici se trebaju upoznati s primjerima likova koji imaju simetriju.

Opći koncept jednakosti figura može se razmatrati samo u uvodnom planu (na primjer, u obliku predavanja) bez naknadne reprodukcije dokaza od strane studenata.

U priručniku za učenje geometrija 7-9 L.S. Atanasyana i drugih, tema "Gibanje" započinje uvođenjem koncepta preslikavanja ravnine na samu sebe, čija je definicija dana deskriptivno.

Obučavanje teme započinje ponavljanjem pojma točke koja je simetrična u odnosu na zadanu točku (centralna simetrija) i zadani pravac (osna simetrija).

Ranije, u 8. razredu, učenici su razmatrali središnju i osnu simetriju kao svojstvo geometrijskih oblika. Sada se uvode ovi općenito poznati koncepti kao primjeri preslikavanja ravnine na samu sebe. Tijekom ponavljanja učenike treba navoditi na koncept održavanja razmaka između točaka. U tu svrhu mogu poslužiti sljedeći zadaci.

1. Izgradite bodove ALI 1 , NA 1 , simetričan točkama ALI i NA relativno ravno l(vidi sl. 2a – 2c).

2. Postoji li točka na ravnini za koju ne postoji točka simetrična u odnosu na zadani pravac?

3. Dokažite da u svakom od slučajeva 2a – 2b ALI 1 NA 1 = AB.

4. Objesite bodove ALI 1 i NA 1 , simetričan točkama ALI i NA u odnosu na točku O, ako a) točka O leži na liniji AB; b) točka O ne leži na ravnoj liniji AB.

5. Postoji li takva točka u ravnini za koju ne postoji točka simetrična s obzirom na tu točku?

6. Dokažite da je u svakom od slučajeva razmatranih u zadatku 4 ALI 1 NA 1 = AB.

Sada možemo uvesti koncept preslikavanja ravnine na samu sebe i ilustrirati ga primjerima središnje i osne simetrije. Važno je naglasiti da kada se ravnina preslika na samu sebe, ispunjena su dva uvjeta:

1) Svakoj točki u ravnini pridružena je neka točka ravnine;

2) Svaka točka ravnine pridružena je nekoj točki ravnine.

Nakon toga možete razmotriti zadatke za konsolidaciju ovog koncepta.

Sada, na temelju gore navedenih zadataka 3 i 6, uvodimo koncept kretanja:

"Gibanje ravnine je preslikavanje ravnine na samu sebe koje čuva udaljenost."

Nakon toga se razmatra teorem o preslikavanju segmenta i njegova posljedica. Učenici se trebaju usredotočiti na činjenicu da se dokaz sastoji od 2 dijela:

1) dokazuje se da svaka točka R ovaj segment MN preslikana na neku točku R 1 rez M 1 N 1 ;

2) dokazuje se da u svakoj točki R 1 rez M 1 N 1 neka točka prolazi R ovaj segment MN.

Stavka "Overlay and Motion" nije obavezna, ali u dobro pripremljenom razredu može doći u obzir. Ovaj materijal se može prezentirati u obliku predavanja. Pojam impozicije, na temelju kojeg je utvrđena jednakost likova, jedan je od osnovnih (nedefiniranih) pojmova u ovom kolegiju geometrije. Prekrivanja su takva preslikavanja ravnine na samu sebe, koja imaju svojstva izražena u aksiomima 7-13 (Atanasyan L.S. et al. Geo. 7-9).

Kretanje je definiran koncept: to je preslikavanje ravnine na samu sebe koje čuva udaljenost.

Iz definicije gibanja i aksioma nametanja izravno proizlazi da bilo koji preklapanje je pokret. Dokazuje se i obrnuta tvrdnja: bilo koja promet je preklapanje.

Dakle, pojam nametanja podudara se s pojmom kretanja.

Od učenika se ne mora tražiti da dokažu činjenice navedene u stavku 115.

Gradivo o paralelnoj translaciji i rotaciji još dvije vrste gibanja može se prezentirati iu obliku predavanja. Korisno je učenicima skrenuti pozornost na činjenicu da se tijekom paralelnog prevođenja crta preslikava na liniju koja je s njom paralelna ili na samu sebe. Iz ovoga slijedi jednostavna metoda za konstruiranje slika linija i segmenata s paralelnim prevođenjem.

Dokazujući da su paralelno prevođenje i rotacija pokreti, jaki učenici mogu sami razabrati iz udžbenika u razredu, nakon čega slijedi opća rasprava. Od slabih učenika ne treba tražiti da reproduciraju dokaze.

Na kraju poglavlja dani su geometrijski zadaci za čije se rješavanje preporuča korištenje gibanja.

Neki od ovih problema dani su s rješenjima.

(2b) Transformacija sličnosti igra važnu ulogu u geometriji. Ovo je razumljivo. Naš stvarni prostor ima grupu sličnosti. Svi geometrijski objekti prostora, ako su oblikovani od segmenata linija, mogu se podijeliti u 2 skupa: slične i različite figure. U skupu sličnih figura mogu biti jednake. Koncept sličnosti figura kod djeteta nastaje mnogo ranije od koncepta njihove veličine. To je zbog osobitosti vizualne percepcije: Dvije figure različitih veličina, ali identičnog oblika, ne razlikuju se.

Oblik figura se ne mijenja kada se promijeni udaljenost s koje je figura vidljiva. Glavni znakovi nepromjenjivosti oblika figure su jednakost kutovi i proporcionalnost odgovarajuće segmente.

U udžbeniku A.V. Pogorelovljeva geometrija 7 – 11 definicije transformacije sličnosti uvodi se slično definiciji gibanja:

Transformacija lika F u lik F 1 naziva se transformacijom sličnosti ako se tijekom te transformacije udaljenost između točaka poveća (ili smanji) za isti broj puta.

To znači da ako proizvoljne točke ALI i NA figure F pod ovom transformacijom idite na bodove A 1 i NA 1 brojke F 1, dakle ALI 1 NA 1 = kAB. Broj k naziva se koeficijent sličnosti.

Nakon uvođenja ovog koncepta, dokazano je da homotetija je transformacija sličnosti. Ova činjenica je dokazana vektorskom metodom. Slično, što se tiče gibanja, dokazuje se da pod transformacijom sličnosti tri točke ALI, NA, IZ, ležeći na jednoj ravnoj liniji, idite na tri točke ALI 1 , NA 1 , IZ 1 leže na istoj ravnoj liniji, a redoslijed njihova međusobnog rasporeda je sačuvan. Iz toga slijedi da transformacija sličnosti pretvara pravce u pravce, zrake u zrake, odsječke u odsječke.

Koristeći homotetiju, dokazuje se da transformacija sličnosti zadržava kutove između polupravaca.

Učenici trebaju biti svjesni da nije svaka transformacija sličnosti homotetija.

Uz pomoć koncepta transformacije sličnosti dana je definicija sličnih figura. U udžbeniku A.V. Pogorelov prvi daje definiciju sličnih figura: "Dvije figure se nazivaju sličnim ako su prevedene jedna u drugu transformacijom sličnosti."

Za označavanje takvih brojki koristi se poseban simbol ~ (). F ~ F 1).

Zatim se razmatra sličnost trokuta.

Snimljeno ∆ ABC~∆ALI 1 NA 1 IZ 1, pretpostavlja se da su vrhovi koji se podudaraju transformacijom sličnosti na odgovarajućim mjestima, tj. ALI ide u ALI 1 itd.

Iz svojstava transformacije sličnosti proizlazi da su za slične trokute odgovarajući kutovi jednaki, a odgovarajuće stranice proporcionalne.

Dokaz znakova sličnosti provodi se pomoću koncepta homotetije. Odvojeno se razmatraju znakovi sličnosti pravokutnih trokuta.

Tema "Mnogokuti" bavi se pitanjem sličnosti pravilnih konveksnih mnogokuta.

Tema "Površine figura" bavi se površinom sličnih figura: "površine sličnih figura odnose se kao kvadrati njihovih odgovarajućih linearnih dimenzija."

Pojam transformiranja figura u prostoru uvodi se na isti način kao i na ravnini. Međutim, postoje neke značajke.

Pri razmatranju transformacije simetrije u prostoru, uz simetriju u odnosu na točku i pravac, dodaje se i simetrija u odnosu na ravninu. Novo svojstvo gibanja u prostoru je da kretanje pretvara ravnine u ravnine. Novo svojstvo za paralelnu translaciju u prostoru je sljedeće svojstvo: prilikom paralelne translacije u prostoru svaka ravnina prelazi ili u samu sebe ili u ravninu koja joj je paralelna.

Pri razmatranju teme “Sličnosti prostornih figura” dodaju se sljedeće tvrdnje: “transformacija sličnosti pretvara ravnine u ravnine” i “transformacija homotetije u prostoru pretvara svaku ravninu koja ne prolazi kroz središte homotetije u paralelnu ravninu (ili u samu sebe kada k=1).

Pri razmatranju transformacija u prostoru može se ograničiti na njihove intuitivne vizualne prikaze i ne fokusirati se na izvođenje korištenih činjenica. A glavni naglasak treba biti na korištenju transformacija u dokazivanju teorema iu rješavanju problema.

U udžbeniku L.S. Atanasyan i drugi u 8. razredu u VII. poglavlju razmatra se tema “Slični trokuti” koja započinje uvođenjem pojma proporcionalnih odsječaka. Učenicima se objašnjava da u svakodnevnom životu imaju posla s predmetima istog oblika, ali različitih veličina. Takvi objekti su prototipovi takvih geometrijskih oblika. Fokus je na sličnim trokutima. Sličnost trokuta ne uvodi se uz pomoć transformacije sličnosti, već kroz jednakost kutova i proporcionalnost sličnih stranica. Znakovi sličnosti trokuta vrlo se jednostavno dokazuju, temeljem teorema: "Ako je kut jednog trokuta jednak kutu drugog trokuta, tada se površine tih trokuta odnose kao umnožak stranica s jednakim kutovima. "

Nakon dokazivanja znakova sličnosti, prikazana je primjena sličnosti u dokazivanju teorema i rješavanju zadataka. Kao praktične primjene sličnosti trokuta opisane su metode za promjenu visine objekta i udaljenosti do nedostupne točke. Daje se ideja o primjeni metode sličnosti u rješavanju konstrukcijskih problema.

U vrlo kratkom obliku opisano je kako možete utvrditi sličnost proizvoljnih figura. korišteni simboli: ∆ ABC~∆ALI 1 NA 1 IZ 1 (trokut ABC sličan trokutu ALI 1 NA 1 IZ jedan). Daje se pojam središnjih figura: „svaka točka M figure F mapirana točka M 1 ravnina tako da se točke M i M 1 leže na zraku s ishodištem u nekoj fiksnoj točki O, štoviše OM 1 = kOM(Pogledajte sliku 3). Kao rezultat takve usporedbe dobiva se slika F 1, slična slici F. U ovom slučaju brojke F i F 1 nazivaju se središnjim.

(3) Metoda transformacije koristi se pri razmatranju različitih teorijskih pitanja tečaja geometrije: Primjena gibanja u određivanju jednakosti likova: primjena transformacije sličnosti u proučavanju sličnih trokuta (u udžbeniku A.V. Pogorelova); paralelna translacija i vektori su usko povezani.

Metoda transformacije ima široku primjenu u rješavanju raznih geometrijskih problema. Međutim, s primjenom ove metode u rješavanju zadataka učenici se ne upoznaju na školskim satima matematike. Ovo pitanje se postavlja na izborne ili izvannastavne aktivnosti.

Metoda transformacija koristi se u rješavanju zadataka za dokaz, za konstrukciju, za rješavanje tzv. geometrijskih problema za nalaženje maksimuma i minimuma. U ovom slučaju koriste se sve vrste transformacija.