Колобок двигается в лабиринте по следующему принципу.

Подготовка к единому государственному экзамену по математике. Полезные материалы и видеоразборы задач по теории вероятностей.

Полезные материалы

Видеоразборы задач

За круглый стол на 5 стульев в случайном порядке рассаживаются 3 мальчика и 2 девочки. Найдите вероятность того, что обе девочки будут сидеть рядом.

В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причем погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,7 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 28 марта, погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 1 апреля в Волшебной стране будет отличная погода.

На чемпионате по прыжкам в воду выступают 50 спортсменов, среди них 8 прыгунов из России и 10 прыгунов из Мексики. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что пятнадцатым будет выступать прыгун из России.

На рисунке изображен лабиринт. Паук заползает в лабиринт в точке "Вход". Развернуться и ползти назад паук не может, поэтому на каждом разветвлении паук выбирает один из путей, по которому еще не полз. Считая, что выбор дальнейшего пути чисто случайный, определите, с какой вероятностью паук придет к выходу D.

Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,02. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,99. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,01. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.

Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,06. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными.

Подборка задач

  1. В кармане у Миши было четыре конфеты -- "Грильяж", "Белочка", "Коровка" и "Ласточка", а также ключи от квартиры. Вынимая ключи, Миша случайно выронил из кармана одну конфету. Найдите вероятность того, что потерялась конфета "Грильяж".
  2. В соревнованиях по толканию ядра участвуют 4 спортсмена из Финляндии, 7 спортсменов из Дании, 9 спортсменов из Швеции и 5 -- из Норвегии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Швеции.
  3. Перед началом первого тура чемпионата по бадминтону участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 бадминтонистов, среди которых 10 участников из России, в том числе Руслан Орлов. Найдите вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России?
  4. В чемпионате мира участвуют 16 команд. С помощью жребия их нужно разделить на четыре группы по четыре команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп: $$1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4.$$ Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда России окажется во второй группе?
  5. Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 75 докладов -- первые три дня по 17 докладов, остальные распределены поровну между четвертым и пятым днями. Порядок докладов определяется жеребьевкой. Какова вероятность, что доклад профессора Максимова окажется запланированным на последний день конференции?
  6. В среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в продажу, 5 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.
  7. Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.
  8. Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали ходить. Найдите вероятность того, что часовая стрелка застыла, достигнув отметки 10, но не дойдя до отметки 1 час.
  9. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что в первый раз выпадает орел, а во второй -- решка.
  10. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз.
  11. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что выпадет хотя бы две решки.
  12. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых.
  13. На рок-фестивале выступают группы -- по одной от каждой из заявленных стран. Порядок выступления определяется жребием. Какова вероятность того, что группа из Дании будет выступать после группы из Швеции и после группы из Норвегии? Результат округлите до сотых.
  14. В классе 26 человек, среди них два близнеца -- Андрей и Сергей. Класс случайным образом делят на две группы по 13 человек в каждой. Найдите вероятность того, что Андрей и Сергей окажутся в одной группе.
  15. В классе учится 21 человек. Среди них две подруги: Аня и Нина. Класс случайным образом делят на 7 групп, по 3 человека в каждой. Найти вероятность того. что Аня и Нина окажутся в одной группе.
  16. Стрелок стреляет по мишени один раз. В случае промаха стрелок делает второй выстрел по той же мишени. Вероятность попасть в мишень при одном выстреле равна 0,7. Найдите вероятность того, что мишень будет поражена (либо первым, либо вторым выстрелом).
  17. Если гроссмейстер Антонов играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Борисова с вероятностью 0,52. Если Антонов играет черными, то Антонов выигрывает у Борисова с вероятностью 0,3. Гроссмейстеры Антонов и Борисов играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что Антонов выиграет оба раза.
  18. В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью 0,3. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты одновременно (считайте, что клиенты заходят независимо друг от друга).
  19. Вероятность того, что новый DVD-проигрыватель в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна 0,045. В некотором городе из 1000 проданных DVD-проигрывателей в течение года в гарантийную мастерскую поступила 51 штука. На сколько отличается частота события "гарантийный ремонт" от его вероятности в этом городе?
  20. При изготовлении подшипников диаметром 67 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не больше, чем на 0,01 мм, равна 0,965. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше чем 66,99 мм или больше чем 67,01 мм.
  21. Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 10 до 19 делится на три?
  22. Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнет игру с мячом. Команда "Физик" играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих играх "Физик" выиграет жребий ровно два раза.
  23. Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут честный жребий, чтобы определить, какая из команд начнет игру с мячом. Команда "Статор" по очереди играет с командами "Ротор", "Мотор" и "Стартер". Найдите вероятность того, что "Статор" будет начинать только первую и последнюю игры.
  24. В магазине стоят два платежных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,05 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.
  25. По отзывам покупателей Иван Иванович оценил надежность двух интернет-магазинов. Вероятность того, что нужный товар доставят из магазина А, равна 0,8. Вероятность того, что этот товар доставят из магазина Б, равна 0,9. Иван Иванович заказал товар сразу в обоих магазинах. Считая, что интернет-магазины работают независимо друг от друга, найдите вероятность того, что ни один магазин не доставит товар.
  26. Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в мишени, а последние два промахнулся. Результат округлите до сотых
  27. Помещение освещается фонарем с двумя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,3. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.
  28. На экзамене по геометрии школьнику достается один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему "Вписанная окружность", равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос на тему "Параллелограмм", равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.
  29. Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 20 пассажиров, равна 0,94. Вероятость того, что окажется меньше 15 пассажиров, равна 0,56. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 15 до 19.
  30. Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,97. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,89. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.
  31. Вероятность того, что на тесте по биологии учащийся О. верно решит больше 11 задач, равна 0,67. Вероятность того, что О. верно решит больше 10 задач, равна 0,74. Найдите вероятность того, что О. верно решит ровно 11 задач.
  32. Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей -- 1 очко, если проигрывает -- 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,4.
  33. В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причем погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,8 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 3 июля, погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 6 июля в Волшебной стране будет отличная погода.
  34. В группе туристов 5 человек. С помощью жребия они выбирают двух человек, которые должны идти в село за продуктами. Артем хотел бы сходить в магазин, но он подчиняется жребию. Какова вероятность того, что Артем пойдет в магазин?
  35. Чтобы поступить в институт на специальность "Лингвистика", абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 70 баллов по каждому из трех предметов -- математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на специальность "Коммерция", нужно набрать не менее 70 баллов по каждому из трех предметов -- математика, русский язык и обществознание. Вероятность того, что Петров получит не менее 70 баллов по математике, равна 0,6, по русскому языку -- 0,8, по иностранному языку -- 0,7 и по обществознанию -- 0,5. Найдите вероятность того, что Петров сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей
  36. При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,4, а при каждом последующем -- 0,6. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98?

На рисунке показано, как изменялась температура воздуха с 3 по 5 апреля. По горизонтали указано время суток, по вертикали - значение температуры в градусах Цельсия. В течение скольких часов температура 5 апреля была больше −3 градусов Цельсия?

Ответ: 15.

Данному условию удовлетворяет время с 9 до 24(полночь), что соответствует 15 часам.

Задание 3. Тренировочный вариант ЕГЭ № 229 Ларина.

На клетчатой бумаге изображён угол. Найдите его величину. Ответ выразите в градусах.

Ответ: 45.

Как видим дуга, на которую опирается вписанный угол, составляет четвертую часть от окружности. С учетом того, что окружность составляет 360 градусов, то дуга равна 90 градусов. А так как величина вписанного угла равна половине дуги, на которую он опирается, то получаем 45 градусов.

Задание 4. Тренировочный вариант ЕГЭ № 229 Ларина.

На рисунке изображен лабиринт. Жук вползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться или ползти назад жук не может, поэтому на каждом разветвлении жук выбирает один из путей, по которым он еще не полз. Считая, что выбор чисто случайный, определите, с какой вероятностью жук придет к одному из выходов. Результат округлите до сотых.

Ответ: 0,17.

С учетом того, что вероятность пойти в различных направлениях на перекрестках одинакова, мы получаем следующие значения (задача просто расписать дорожку к каждому из выходов, учитывая, что, например, если два пути, то вероятность пойти в одном направлении 0,5, если три, то 1/3 и тд. Обратный путь считать не надо):

Г: $$0,5\cdot0,5\cdot\frac{1}{3}$$

В: $$0,5\cdot0,5\cdot\frac{1}{3}\cdot0,5$$

Б: $$0,5\cdot0,5\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}$$

А: $$0,5\cdot0,5\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}\cdot0,5$$

$$\frac{1}{3}\cdot0,25(1+0,5+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\cdot0,5)=$$ $$\frac{1}{12}(\frac{6}{6}+\frac{3}{6}+\frac{2}{6}+\frac{1}{6})=$$ $$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}\approx0,17$$

Задание 6. Тренировочный вариант ЕГЭ № 229 Ларина.

В треугольнике ABC проведена биссектриса AL. Известно, что $$\angle ALC=130^{\circ}$$, а $$\angle ABC=103^{\circ}$$. Найдите $$\angle ACB$$. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 23.

$$\angle ALB=180^{\circ}-\angle ALC=50^{\circ}$$; $$\angle BAL=180^{\circ}-\angle ABL-\angle ALB=180^{\circ}-103^{\circ}-50^{\circ}=27^{\circ}$$; $$\angle BAC=2\cdot27=54$$; $$\angle ACB=180^{\circ}-\angle BAC-\angle ABC=23^{\circ}$$

Задание 7. Тренировочный вариант ЕГЭ № 229 Ларина.

На рисунке изображен график производной функции $$y=f"(x)$$, определенной на интервале (−3; 9). В какой точке отрезка [−2; 3] $$f(x)$$ принимает наибольшее значение?

Ответ: -2.

В данном задании необходимо помнит следующее: производная отрицательна, значит функция убывает. В нашем случае график произвольной находится под осью Ох на всем отрезке [-2;3] (то, что он "скачет" никак не убывание функции не влияет: она просто убывает где-то быстрее, где-то медленнее). Раз функция на всем отрезке убывает, то ее наибольшее значение будет в начале отрезка.

Задание 8. Тренировочный вариант ЕГЭ № 229 Ларина.

Во сколько раз уменьшится объем октаэдра, если все его ребра уменьшить в два раза?

Ответ: 8.

Для решения данных заданий надо помнить, что периметры подобных фигур относятся как коэффициент подобия, площади - как квадрат коэффициента подобия, а объемы - как куб коэффициента подобия. То есть, если уменьшить ребро в два раза, объем изменится в 8 раз

Задание 9. Тренировочный вариант ЕГЭ № 229 Ларина.

Найдите значение выражения $$\frac{\sqrt{a}\cdot\sqrt{a}}{a\cdot\sqrt{a}}$$ при $$a=0,1$$.

Ответ: 10.

$$\frac{\sqrt{a}\cdot\sqrt{a}}{a\cdot\sqrt{a}}=$$ $$\frac{a^{\frac{1}{4}}\cdot a^{\frac{1}{12}}}{a\cdot a^{\frac{1}{3}}}=$$ $$a^{\frac{1}{4}+\frac{1}{12}-1-\frac{1}{3}}=$$ $$a^{-1}=\frac{1}{0,1}=10$$

Задание 10. Тренировочный вариант ЕГЭ № 229 Ларина.

Находящийся в воде водолазный колокол, содержащий $$v=4$$ моля воздуха при давлении $$p_{1}=1,2$$ атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха. Работа (в джоулях), совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением $$A=\alpha vT\log_{2}\frac{p_{2}}{p_{1}}$$, где α=5,75- постоянная, T =300 К-температура воздуха, $$p_{1}$$ (атм)-начальное давление, а $$p_{2}$$ (атм)-конечное давление воздуха в колоколе. До какого наибольшего давления $$p_{2}$$ (в атм) можно сжать воздух в колоколе, если при сжатии воздуха совершается работа не более чем 20 700 Дж?

Ответ: 9,6.

$$20700=5,75\cdot4\cdot300\log_{2}\frac{p_{2}}{1,2}\Leftrightarrow $$$$\log_{2}\frac{p_{2}}{1,2}=\frac{20700}{23\cdot300}=3\Leftrightarrow $$$$\frac{p_{2}}{1,2}=2^{3}=8\Leftrightarrow $$$$p_{2}=1,2\cdot8=9,6$$

Задание 11. Тренировочный вариант ЕГЭ № 229 Ларина.

Теплоход, скорость которого в неподвижной воде равна 24 км/ч, проходит по течению реки и после стоянки возвращается в исходный пункт. Скорость течения равна 2 км/ч, стоянка длится 4 часа, а в исходный пункт теплоход возвращается через 16 ч после отплытия из него. Сколько километров прошел теплоход за весь рейс?

Ответ: 286.

Пусть х - расстояние в один конец. Скорость по течению составляет 24+2=26, против течения 24-2=22. Стоянка длилась 4 часа, следовательно само плавание составило 16-4=12. Данное время получается суммирование времени по течени и против течения:

$$\frac{x}{26}+\frac{x}{22}=12\Leftrightarrow$$$$\frac{24x}{11\cdot13\cdot2}=12\Leftrightarrow $$$$x=\frac{11\cdot12\cdot13\cdot2}{24}=143$$

Тогда расстояние туда/обратно составило 143-143=286 км.

Задание 12. Тренировочный вариант ЕГЭ № 229 Ларина.

Найдите точку минимума функции $$y=x\sin x+\cos x-\frac{3}{4}\sin x$$, принадлежащую промежутку $$(0;\frac{\pi}{2})$$

Ответ: 0,75.

$$y"=\sin x+x\cos x-\sin x-\frac{3}{4}\cos x=0 \Leftrightarrow $$$$\cos x(x-\frac{3}{4})=0\Leftrightarrow $$$$x=0,75 ; x=\frac{\pi}{2}+\pi*n, n \in Z$$

отметим полученные точки на координатной прямой и расставим знаки производной (сначала будет рассматривать каждый из множителей, входящих в производную, затем только знак самой производной, как произведение множителей):

Как видим по рисунку (F=0 - начало отрезка, на котором ищем) точка минимума x=0,75.

Задание 13. Тренировочный вариант ЕГЭ № 229 Ларина.

А) Решите уравнение $$\cos2(x+\frac{\pi}{3})+4\sin(x+\frac{\pi}{3})=\frac{5}{2}$$

Б) Найдите корни, принадлежащие отрезку $$[-\frac{\pi}{2};\pi]$$

Ответ: $$-\frac{\pi}{6};\frac{\pi}{2}$$.

Пусть $$x+\frac{\pi}{3}=y$$;

$$\cos2y+4\sin y=\frac{5}{2}\Leftrightarrow $$$$1-2\sin^{2}y+4\sin y-\frac{5}{2}=0\Leftrightarrow $$$$-2\sin^{2}y+4\sin y-\frac{3}{2}=0\Leftrightarrow $$$$4\sin^{2}y-8\sin y+3=0$$;

$$\sin y=\frac{8+4}{8}=\frac{3}{2}$$ - решений нет;

$$\sin y=\frac{8-4}{8}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow $$$$\left\{\begin{matrix}y=\frac{\pi}{6}+2\pi n,n\in Z\\y=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,n\in Z\end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$$$\left\{\begin{matrix}x+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{6}+2\pi n,n\in Z\\x+\frac{\pi}{3}=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,n\in Z\end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n,n\in Z\\x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,n\in Z\end{matrix}\right.$$

Построим единичную окружность, отметим корни в общем виде и промежутке и найдем частные случаи корней:

Очевидно, что корни, попадающие в данные отрезки это $$-\frac{\pi}{6};\frac{\pi}{2}$$

Задание 14. Тренировочный вариант ЕГЭ № 229 Ларина.

Основанием четырехугольной пирамиды SABCD является квадрат ABCD со стороной АВ=4. Боковое ребро SC, равное 4, перпендикулярно основанию пирамиды. Плоскость $$\alpha$$, проходящая через вершину С параллельно прямой BD, пересекает ребро SA в точке М, причем SM:MA=1:2

А) Докажите, что $$SA\perp\alpha$$

Б) Найдите площадь сечения пирамиды SABCD плоскостью $$\alpha$$

Ответ: $$\frac{8\sqrt{3}}{3}$$.

a) 1) $$AS=\sqrt{16+32}=4\sqrt{3}$$; $$AM=\frac{4\sqrt{3}\cdot2}{3}$$; $$MS=\frac{4\sqrt{3}}{3}$$; $$MC=\frac{4\cdot4\sqrt{2}}{4\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{6}}{3}$$; $$4^{2}=(\frac{4\sqrt{6}}{3})^{2}+(\frac{4\sqrt{3}}{3})^{2}=\frac{16\cdot6+16\cdot3}{9}=16$$

2) $$AC\perp DB$$ $$\Rightarrow$$ $$SA\perp DB$$ $$\Rightarrow$$ $$SA\perp KN$$

б) 1) $$\frac{CE}{EM}\cdot\frac{MS}{SA}\cdot\frac{AO}{OC}=1$$; $$\frac{CE}{EM}\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{1}=1$$; $$\frac{CE}{EM}=\frac{3}{1}$$ $$\Rightarrow$$ $$CE=\frac{3}{4}\cdot CM=\frac{3}{4}\cdot\frac{4\sqrt{6}}{3}=\sqrt{6}$$

2) $$\cos ACM=\frac{CM}{AC}=\frac{\frac{4\sqrt{6}}{3}}{4\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$$; $$OE=\sqrt{OC^{2}+CE^{2}-2OC\cdot CE\cdot\cos ACM}=$$ $$\sqrt{(2\sqrt{2})^{2}+(\sqrt{6})^{2}-2\cdot2\sqrt{2}\cdot\sqrt{6}\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}}=$$ $$\sqrt{8+6-\frac{4\cdot6}{3}}=\sqrt{6}$$

3) $$SO=\sqrt{OC^{2}+SC^{2}}=\sqrt{(2\sqrt{2})^{2}+4^{2}}=\sqrt{24}$$ $$\Rightarrow$$ $$SE=SO-OE=2\sqrt{6}-\sqrt{6}=\sqrt{6}$$ $$\Rightarrow$$ $$NK$$ - средняя линия $$\bigtriangleup SDB$$ $$\Rightarrow$$ $$NK=\frac{1}{2}DB=\frac{1}{2}\cdot4\sqrt{2}=2\sqrt{2}$$;

4) $$S_{CKMN}=\frac{1}{2}\cdot CM\cdot NK=\frac{1}{2}\cdot\frac{4\sqrt{6}}{3}\cdot2\sqrt{2}=\frac{4\cdot\sqrt{12}}{3}=\frac{8\sqrt{3}}{3}$$

Задание 15. Тренировочный вариант ЕГЭ № 229 Ларина.

Решите неравенство $$\log_{x-2}\frac{1}{5}\geq\log_{\frac{x-3}{x-5}}\frac{1}{5}$$

Ответ: $$x\in}