В координатной плоскости хОу рассмотрим график функции y=f (x) . Зафиксируем точку М(х 0 ; f (x 0)) . Придадим абсциссе х 0 приращение Δх . Мы получим новую абсциссу х 0 +Δх . Это абсцисса точки N , а ордината будет равна f (х 0 +Δх ). Изменение абсциссы повлекло за собой изменение ординаты. Это изменение называют приращение функции и обозначают Δy .

Δy=f (х 0 +Δх) — f (x 0). Через точки M и N проведем секущую MN , которая образует угол φ с положительным направлением оси Ох . Определим тангенс угла φ из прямоугольного треугольника MPN .

Пусть Δх стремится к нулю. Тогда секущая MN будет стремиться занять положение касательной МТ , а угол φ станет углом α . Значит, тангенс угла α есть предельное значение тангенса угла φ :

Предел отношения приращения функции к приращению аргумента, при стремлении последнего к нулю, называют производной функции в данной точке:

Геометрический смысл производной заключается в том, что численно производная функции в данной точке равна тангенсу угла, образованного касательной, проведенной через эту точку к данной кривой, и положительным направлением оси Ох :

Примеры.

1. Найти приращение аргумента и приращение функции y=x 2 , если начальное значение аргумента было равно 4 , а новое -4,01 .

Решение.

Новое значение аргумента х=х 0 +Δx . Подставим данные: 4,01=4+Δх, отсюда приращение аргумента Δх =4,01-4=0,01. Приращение функции, по определению, равно разности между новым и прежним значениями функции, т.е. Δy=f (х 0 +Δх) - f (x 0). Так как у нас функция y=x 2 , то Δу =(х 0 +Δx) 2 — (х 0) 2 =(х 0) 2 +2x 0 · Δx+(Δx) 2 — (х 0) 2 =2x 0 · Δx+(Δx) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

Ответ: приращение аргумента Δх =0,01; приращение функции Δу =0,0801.

Можно было приращение функции найти по-другому: Δy =y (х 0 +Δx) -y (х 0)=у(4,01) -у(4)=4,01 2 -4 2 =16,0801-16=0,0801.

2. Найти угол наклона касательной к графику функции y=f (x) в точке х 0 , если f "(х 0) = 1 .

Решение.

Значение производной в точке касания х 0 и есть значение тангенса угла наклона касательной (геометрический смысл производной). Имеем: f "(х 0) = tgα = 1 → α = 45°, так как tg45°=1.

Ответ: касательная к графику данной функции образует с положительным направлением оси Ох угол, равный 45° .

3. Вывести формулу производной функции y=x n .

Дифференцирование — это действие нахождения производной функции.

При нахождении производных применяют формулы, которые были выведены на основании определения производной, так же, как мы вывели формулу производной степени: (x n)" = nx n-1 .

Вот эти формулы.

Таблицу производных легче будет заучить, проговаривая словесные формулировки:

1. Производная постоянной величины равна нулю.

2. Икс штрих равен единице.

3. Постоянный множитель можно вынести за знак производной.

4. Производная степени равна произведению показателя этой степени на степень с тем же основанием, но показателем на единицу меньше.

5. Производная корня равна единице, деленной на два таких же корня.

6. Производная единицы, деленной на икс равна минус единице, деленной на икс в квадрате.

7. Производная синуса равна косинусу.

8. Производная косинуса равна минус синусу.

9. Производная тангенса равна единице, деленной на квадрат косинуса.

10. Производная котангенса равна минус единице, деленной на квадрат синуса.

Учим правила дифференцирования .

1. Производная алгебраической суммы равна алгебраической сумме производных слагаемых.

2. Производная произведения равна произведению производной первого множителя на второй плюс произведение первого множителя на производную второго.

3. Производная «у», деленного на «вэ» равна дроби, в числителе которой "у штрих умноженный на «вэ» минус «у, умноженный на вэ штрих», а в знаменателе — «вэ в квадрате».

4. Частный случай формулы 3.

Рассмотрим произвольную прямую, проходящую через точку гра­фика функции - точку А(x 0 , f (х 0)) и пересекающую график в некоторой точке B (x ; f (x )). Такая прямая (АВ) называется секущей. Из ∆АВС: АС = ∆ x ; ВС =∆у; tgβ =∆ y /∆ x .

Так как АС || Ox , то Ð ALO = Ð BAC = β (как соответственные при параллельных). Но Ð ALO - это угол наклона секущей АВ к положи­тельному направлению оси Ох. Значит, tgβ = k - угловой коэффициент прямой АВ.

Теперь будем уменьшать ∆х, т.е. ∆х→ 0. При этом точка В будет прибли­жаться к точке А по графику, а секущая АВ будет поворачиваться. Пре­дельным положением секущей АВ при ∆х→ 0 будет прямая (a ), называемая касательной к графику функции у = f (х) в точке А.

Если перейти к пределу при ∆х → 0 в равенстве tg β =∆ y /∆ x , то получим

или tg a = f "(x 0 ), так как
a -угол накло­на касательной к положительному направлению оси Ох

, по определению производной. Но tg a = k - угловой коэффициент каса­тельной, значит, k = tg a = f "(x 0 ).

Итак, геометрический смысл производной заключается в следую­щем:

Производная функции в точке x 0 равна угловому коэффициенту ка­сательной к графику функции, проведенной в точке с абсциссой x 0 .

Физический смысл производной.

Рассмотрим движение точки по прямой. Пусть задана координата точки в любой момент времени x (t ). Известно (из курса физики), что средняя скорость за промежуток времени [ t 0 ; t 0 + ∆ t ] равна отношению расстояния, пройденного за этот промежуток времени, на время, т.е.

V ср = ∆ x /∆ t . Перейдем к пределу в последнем равенстве при ∆ t → 0.

lim V ср (t ) = n (t 0 ) - мгновенная скорость в момент времени t 0 , ∆ t → 0.

а lim = ∆ x /∆ t = x "(t 0 ) (по определению производной).

Итак, n (t ) = x "(t ).

Физический смысл производной заключается в следующем: произ­водная функции y = f ( x ) в точке x 0 - это скорость изменения функции f (х) в точке x 0

Производная применяется в физике для нахождения скорости по известной функции координаты от времени, ускорения по известной функции скорости от времени.

u (t ) = x "(t ) - скорость,

a (f ) = n "(t ) - ускорение, или

a (t ) = x "(t ).

Если известен закон движения материальной точки по окружности, то можно найти угловую скорость и угловое ускорение при вращатель­ном движении:

φ = φ (t ) - изменение угла от времени,

ω = φ "(t ) - угловая скорость,

ε = φ "(t ) - угловое ускорение, или ε = φ "(t ).

Если известен закон распределения массы неоднородного стержня, то можно найти линейную плотность неоднородного стержня:

m = m (х) - масса,

x Î , l - длина стержня,

р = m "(х) - линейная плотность.

С помощью производной решаются задачи из теории упругости и гармонических колебаний. Так, по закону Гука

F = - kx , x – переменная координата, k - коэффициент упругости пружины. Положив ω 2 = k / m , получим дифференциальное уравнение пружинного маятника х"(t ) + ω 2 x(t ) = 0,

где ω = √ k /√ m частота колебаний (l / c ), k - жесткость пружины (H / m ).

Уравнение вида у" + ω 2 y = 0 называется уравнением гармонических колебаний (механических, электрических, электромагнитных). Решени­ем таких уравнений является функция

у = Asin (ωt + φ 0 ) или у = Acos (ωt + φ 0 ), где

А - амплитуда колебаний, ω - циклическая частота,

φ 0 - начальная фаза.

Цели урока:

Образовательные:

• Создать условия для осмысленного усвоения учащимися физического смысла производной.
• Содействовать формированию умений и навыков практического использования производной для решения разнообразных физических задач.

Развивающие:

• Способствовать развитию математического кругозора, познавательного интереса у учащихся через раскрытие практической необходимости и теоретической значимости темы.
• Обеспечить условия для совершенствования мыслительных умений учащихся: сравнивать, анализировать, обобщать.

Воспитательная:

• Содействовать воспитанию интереса к математике.

Тип урока: Урок освоения новых знаний.

Формы работы: фронтальная, индивидуальная, групповая.

Оборудование: Компьютер, интерактивная доска, презентация, учебник.

Структура урока:

1. Организационный момент, постановка цели урока
2. Изучение нового материала
3. Первичное закрепление нового материала
4. Самостоятельная работа
5. Итог урока. Рефлексия.

Ход урока

I. Организационный момент, постановка цели урока (2 мин.)

II . Изучение нового материала (10 мин.)

Учитель: На предыдущих уроках мы познакомились с правилами вычисления производных, научились находить производные линейной, степенной, тригонометрических функций. Узнали, в чем заключается геометрический смысл производной. Сегодня на уроке мы узнаем, где в физике применяется данное понятие.

Для этого вспомним определение производной (Слайд 2)

Теперь обратимся к курсу физики (Слайд 3)

Учащиеся рассуждают, вспоминают физические понятия и формулы.

Пусть тело движется по закону S(t)= f(t) Рассмотрим путь, пройденный телом за время от t 0 до t 0 + Δ t, где Δt – приращение аргумента. В момент времени t 0 телом пройден путь S(t 0), в момент t 0 +Δt – путь S(t 0 +Δt). Поэтому за время Δt тело прошло путь S(t 0 +Δt) –S(t 0), т.е. мы получили приращение функции. Средняя скорость движения тела за этот промежуток времени υ==

Чем меньше промежуток времени t, тем точнее мы можем узнать, с какой скоростью движется тело в момент t. Устремив t →0, получим мгновенную скорость – числовое значение скорости в момент t этого движения.

υ= , при Δt→0 скорость – есть производная от пути по времени.

Слайд 4

Вспомним определение ускорения.

Применяя изложенный выше материал можно сделать вывод, что при t а(t)= υ’(t) ускорение – есть производная от скорости.

Далее на интерактивной доске появляются формулы силы тока, угловой скорости, ЭДС и т.д. Учащиеся дописывают мгновенные значения данных физических величин через понятие производной. (При отсутствии интерактивной доски использовать презентацию)

Слайды 5-8

Вывод формулируют учащиеся.

Вывод: (Слайд 9) Производная – это есть скорость изменения функции. (Функции пути, координаты, скорости, магнитного потока и т.д.)

υ (х)=f ’(х)

Учитель: Мы видим, что связь между количественными характеристиками самых различных процессов исследуемых физикой, техническими науками, химией, аналогична связи между путем и скоростью. Можно привести множество задач, для решения которых также необходимо находить скорость изменения некоторой функции, например: нахождение концентрации раствора в определенный момент, нахождение расхода жидкости, угловой скорости вращения тела, линейной плотности в точке и т.д. Некоторые из таких задач мы сейчас решим.

III. Закрепление полученных знаний (работа в группах) (15 мин.)

С последующим разбором у доски

Перед решением задач уточнить единицы измерения физических величин.

Скорость – [м/с]
Ускорение – [м/с 2 ]
Сила – [Н]
Энергия – [Дж]

Задание 1 группе

Точка движется по закону s(t)=2t³-3t (s – путь в метрах, t – время в секундах). Вычислите скорость движения точки, ее ускорение в момент времени 2с

Задание 2 группе

Маховик вращается вокруг оси по закону φ(t)= t 4 -5t. Найдите его угловую скорость ω в момент времени 2с (φ – угол вращения в радианах, ω – угловая скорость рад/с)

Задание 3 группе

Тело массой 2 кг движется прямолинейно по закону х(t)=2-3t+2t²

Найдите скорость тела и его кинетическую энергию через 3с после начала движения. Какая сила действует на тело в этот момент времени? (t измеряется в секундах, х – в метрах)

Задание 4

Точка совершает колебательные движения по закону х(t)=2sin3t. Докажите, что ускорение пропорционально координате х.

IV. Самостоятельное решение задач №272, 274, 275, 277

[А.Н.Колмогоров, А.М.Абрамов и др. «Алгебра и начала анализа10-11 класс»] 12 мин

Дано:	Решение:
x(t)=- ______________ t=? υ(t)=?	υ(t)=х’(t); υ(t)= (-)’=·3t²+6t= +6t; a(t)=υ’(t) a(t)=( +6t)’=·2t+6=-t+6; a(t)=0; -t+6=0; t=6; υ(6)=+6·6=-18+36=18м/с Ответ: t=6c; υ(6)= 18м/с

Рассмотрим график некоторой функции y = f(x).

Отметим на нем некоторую точку А с координатами (x, f(x)) и недалеко от нее точку В с координатами (x+h, f(x+h). Проведем через эти точки прямую (АВ). Рассмотрим выражение . Разность f(x+h)-f(x) равна расстоянию BL, а расстояние АL равно h. Отношение BL/AL - это тангенс ε угла - угла наклона прямой (АВ). Теперь представим себе, что величина h очень и очень мала. Тогда прямая (АВ) почти совпадет с касательной в точке х к графику функции y = f(x).

Итак, дадим определения.

Производной функции y = f(x) в точке х называется предел отношения при h стремящемся к нулю. Пишут:

Геометрический смысл производной – тангенс угла наклона касательной.

У производной есть еще и физический смысл. В начальных классах давалось определение скорости, как расстояние, деленное на время. Однако, в реальной жизни скорость, например, автомобиля, не постоянна на протяжении всего пути. Пусть путь – это некоторая функция от времени - S(t).Зафиксируем момент времени t. За небольшой промежуток времени от t до t+h автомобиль пройдет путь S(t+h)-S(t). За маленький промежуток времени скорость сильно не изменится и поэтому, можно использовать определение скорости, известное с начальной школы . А при h, стремящемся к нулю, это и будет производная.